Costanti trigonometriche esatte

Con il termine costanti trigonometriche esatte si indicano espressioni riguardanti valori o combinazioni di valori di funzioni trigonometriche costruite a partire da numeri interi con le operazioni razionali e le operazioni di estrazione di radice. Queste espressioni numeriche sono utilizzate principalmente per semplificare le soluzioni di problemi geometrici fornite mediante radicali.

Tutti i valori delle funzioni sin, cos e tan di angoli multipli di 3° sono ottenibili servendosi delle identità di bisezione, duplicazione, addizione/sottrazione e dei valori corrispondenti agli angoli di 0°, 30°, 36° e 45°. Si ricorda che 1° = π/180 radianti.

Table of contents

1 Tavola delle espressioni

1.1 0° - valori fondamentali
1.2 3° - poligono con 60 lati
1.3 6° - poligono con 30 lati
1.4 9° - poligono con 20 lati
1.5 12° - poligono con 15 lati
1.6 15° - poligono con 12 lati
1.7 18° - poligono con 10 lati
1.8 21° = 9° + 12°
1.9 22.5° - Ottagono
1.10 24° = 12° + 12°
1.11 27° = 12° + 15°
1.12 30° - Esagono
1.13 33° 15° + 18°
1.14 36° - Pentagono
1.15 39° 18°+ 21°
1.16 42° 21° + 21°
1.17 45° - Quadrato

2 Note

2.18 Uso delle costanti
2.19 Dimostrazioni delle espressioni mediante triangoli
2.20 Espressioni non singole

Tavola delle espressioni

''I valori relativi ad angoli non contenuti nell'intervallo [0° ... 45°] si possono ricavare da quelli qui forniti mediante semplici osservazioni sulla circonferenza di raggio 1 e sugli effetti di opportune rotazioni e riflessioni.

0° - valori fondamentali

15° - poligono con 12 lati

18° - poligono con 10 lati

21° 9° + 12°

sin(21°) = [2√(5-√5)(√3+1)-√2(√3-1)(1+√5)]/16

cos(21°) = [2√(5-√5)(√3-1)+√2(√3+1)(1+√5)]/16

tan(21°) = [√(5-2√5)(1+2√3-√5)+(2+√3)(√5-3)+2]/2

22.5° - Ottagono

24° 12° + 12°

sin(24°) = √(2(5+√5))(1-√5)+2√3(1+√5))/16

cos(24°) = √(6(5+√5))(√5-1)+2(1+√5))/16

tan(24°) = (√(10+2√5)-2√3)(3+√5)/4

cotan(24°) = (√(10+2√5)+2√3)(√5-1)/4

27° 12° + 15°

sin(27°) = ((2√(5+√5)+√2(1-√5))/8

cos(27°) = ((2√(5+√5)+√2(√5-1))/8

tan(27°) = -√(5-2(√5))+(√5-1)

30° - Esagono

33° 15° + 18°

sin(33°) = (2√(5+√5)(-1+√3)+√2(√5-1)(1+√3))/16

cos(33°) = (2√(5+√5)(+1+√3)+√2(√5-1)(1-√3))/16

tan(33°) = (√(5(5-2√5))(-15+10√3-7√5+4√15)+5((-2+√3)(3+√5)+2))/10

36° - Pentagono

39° 18°+ 21°

sin(39°) = (2√(5-√5)(1-√3)+√2(+1+√3)(1+√5))/16

cos(39°) = (2√(5-√5)(1+√3)+√2(-1+√3)(1+√5))/16

tan(39°) = (√(2(5+√5))-2)((2-√3)(-3+√5)+2)/4

42° 21° + 21°

sin(42°) = (√(6(5-√5))(1+√5)+2(1-√5))/16

cos(42°) = (√(2(5-√5))(1+√5)+2√3(-1+√5))/16

tan(42°) = (-√(5-2√5)(3+√5)+√3(1+√5))/2

45° - Quadrato

Note

Uso delle costanti

Una grandezza come il volume di un dodecaedro � data da:

V = 5e³cos(36)/tan²(36)

Usando

cos(36°) = (√5 + 1)/4

tan(36°) = √(5-2√5)

l'espressione precedente può essere semplificata nella:

V = e³(15 + 7√5)/4.

Dimostrazioni delle espressioni mediante triangoli

La derivazione dei valori particolari delle funzioni sin, cos e tan nella forma radiale � basata sulla costruibilità di triangoli rettangoli che conviene individuare come sezioni simmetriche di poligoni regolari. Ciascuno dei triangoli rettangoli considerati ha come vertici 3 punti di un poligono regolare: un suo vertice V, il punto medio M di un lato che ha come estremo V e il centro C del poligono. Per N=3, 4, 5, ... si considera un N-agono regolare suddiviso in 2*N triangoli rettangoli aventi angoli di 180°/N (vertice C), 90° (vertice M) e 90°-180°/N (vertice V).

Ci si basa sulla costruibilità con riga e compasso di poligoni a 3, 4, 5, e 15 lati e si utilizzano le bisettrici per ricavare anche i multipli di due.

Costruibile
- 5*2^X lati
  54°-36°-90° triangolo - pentagono (5 lati)
  72°-18°-90° triangolo - decagono (10 lati)
  81°-9°-90° triangolo - icosagono (20 lati)
  85.5°-4.5°-90° triangolo - tetracontagono (40 lati)
  87.75°-2.25°-90° triangolo - ottacontagono (80 lati)
  ...
- 15*2^X lati
  - 78°-12°-90° triangolo - pentakaidecagono (15 lati)
  - 84°-6°-90° triangolo - tricontagono (30 lati)
  - 87°-3°-90° triangolo - esacontagono (60 lati)
  - 88.5°-1.5°-90° triangolo - ettoicosagono (120 lati)
  - 89.25°-0.75°-90° triangolo - diettotetracontagono (240 lati)
- ... (Poligoni regolari di grado superiore costruibili non possono essere fatte per angoli di grado intero: 17, 51, 85, 255, 257...)
Noncostruibili (con angoli di grado intero o di mezzo grado) - Le forme radiali non limitate per queste proporzioni di taglio del triangolo sono note.
- 9*2^X lati
  - 70°-20°-90° triangolo - enneagono (9 lati)
  - 80°-10°-90° triangolo - ottakaidecagono (18 lati)
  - 85°-5°-90° triangolo - triacontakaiesagono (36 lati)
  - 87.5°-2.5°-90° triangolo - eptacontakaidigono (72 lati)
  - ...
- 45*2^X lati
  - 86°-4°-90° triangolo - tetracontakaipentagono (45 lati)
  - 88°-2°-90° triangolo - enneacontagono (90 lati)
  - 89°-1°-90° triangolo - ettaottacontagono (180 lati)
  - 89.5°-0.5°-90° triangolo - triettoesacontagono (360 lati)
  - ...

Espressioni non singole

La semplificazione di espressioni di radicali annidati non � banale. Queste espressioni non possono tutte essere ridotte completamente.

Esempio:

Non � così evidente che questa semplificazione sia equivalente, e in generale i radicali annidati non possono essere ridotti.

In generale queste sono riducibili:

, se (a²-4*b²*c) � un quadrato perfetto

Vedi anche

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