Energia meccanica

Table of contents

1 L'energia cinetica
2 L'energia potenziale gravitazionale
3 La velocità di fuga

L'energia cinetica

Un corpo in movimento possiede energia cinetica. Se il corpo si sposta senza ruotare, l'energia cinetica � espressa dalla formula

dove m � la massa del corpo e v il modulo della sua velocità.
Se si compiono lavori su di un corpo, la variazione dell'energia cinetica � uguale al lavoro totale compiuto

(vedi Teorema dell'energia cinetica).

L'energia potenziale gravitazionale

Ove sia presente la gravità, possiamo considerare un altro tipo di energia: l'energia potenziale gravitazionale (per brevità qui sotto tralasceremo l'aggettivo "gravitazionale").

Scegliamo arbitrariamente una superficie di riferimento in ogni suo punto perpendicolare alla direzione della gravità (in prima approssimazione, un piano orizzontale). Possiamo definire, rispetto ad essa, l'energia potenziale U di un corpo come il lavoro compiuto dalla gravità quando il corpo si sposta dalla sua posizione attuale alla superficie di riferimento. Da quanto detto � chiaro che, in una zona limitata della superficie terrestre, avremo

U = m · g · h

dove h � la distanza verticale del corpo dalla superficie di riferimento (positiva se � "sopra", negativa se � "sotto", nulla se � sulla superficie). L’energia potenziale di un corpo dipende solo dalla sua massa e dalla sua posizione.
Una superficie che può fungere da sup. di rif. � detta equipotenziale: un corpo ha la stessa energia potenziale in ogni punto di essa. E' importante notare che si può definire un'energia potenziale perché la gravità � una forza conservativa.

Consideriamo un corpo che si muove sottoposto alla sola gravità: esso si dice in caduta libera. Se passa dalla quota h₁ alla quota h₂, la sua energia potenziale passerà da U₁ = m · g · h₁ a U₂ = m · g · h₂, subendo una variazione ΔU = U₂ - U₁ = m · g · (h₂ - h₁) = m · g · Δh.
Il lavoro compiuto dalla gravità sul corpo vale - m · g · Δh, che coincide con la variazione di energia cinetica, per cui deduciamo che di tanto aumenta l'energia potenziale di tanto cala quella cinetica e viceversa. La somma di U ed E_c rimane costante in un corpo in caduta libera: essa si chiama energia meccanica (E_m).

Si noti che l'energia meccanica si conserva non solo quando un corpo � in caduta libera, ma anche se altre forze presenti non compiono lavoro. Un caso di questo tipo � quello di forze vincolari: quindi se un corpo si muove su di un piano, o anche su di un binario, senza attrito e in assenza di aria l'energia meccanica si conserva.

Dalla legge di gravitazione possiamo capire che la formula L_g=-mgΔh, che esprime il lavoro della gravità, � valida solo per valori piccoli di Δh. Infatti, man mano che ci si allontana o avvicina alla Terra (o ad un altro corpo celeste), il valore di g � inversamente proporzionale al quadrato della distanza dal suo centro.
Continua però a valere: dL_g = -mg · dh.
Poiché g = GM/r², integrando abbiamo:

dove r₁ � la distanza iniziale dal centro della Terra e r₂ quella finale.
Poiché il lavoro della gravità � l’opposto della variazione di energia potenziale , abbiamo che

dove ΔU � il cambiamento di energia potenziale che il corpo subisce passando dalla distanza r₁ a quella r₂ dal centro della Terra.

Il valore dell’energia potenziale di un corpo dipende da quale tra le infinite superfici equipotenziali scegliamo arbitrariamente come superficie di riferimento. Conviene allora scegliere una superficie che renda pi� semplice possibile il calcolo di U. Le superfici equipotenziali di un corpo celeste sono sfere concentriche con esso. Se scegliamo come superficie di riferimento una sfera con raggio r₁, l’energia potenziale di un corpo a distanza r₂ dal centro della Terra varrà

Se la superficie di riferimento � una sfera di raggio “infinito” , il primo termine del secondo membro di questa relazione diverrà zero per cui, chiamando r la distanza del nostro corpo dal centro della Terra, avremo

che � l’espressione pi� semplice che possiamo trovare. Si noti che, con questa definizione, l’energia potenziale di un corpo nel raggio di attrazione di un pianeta � sempre negativa, mentre se il corpo si trova fuori da esso essa � nulla.

La velocità di fuga

Se, dalla superficie terrestre, lanciamo un corpo verso l’alto, esso rallenta in quanto la sua energia cinetica � “consumata” dal lavoro negativo della gravità e trasformata in energia potenziale . Se si ferma quando � ancora soggetto all’attrazione terrestre, esso ricade al suolo.

La condizione affinché un corpo non ricada � che la sua energia cinetica non si consumi prima di raggiungere il limite dell’attrazione terrestre, ossia finché non sia diventata zero l’energia potenziale definita nell'ultima relazione.

Per fare questo, l’energia cinetica al suolo deve valere almeno GMm/r, in modo che non si consumi prima che il corpo non senta pi� la gravità terrestre, ossia che l’energia potenziale diventi nulla. Poiché E_c = ½mv², se chiamiamo velocità di fuga (v_f) la minima velocità che permetta di sfuggire all’attrazione terrestre, avremo

da cui, semplificando m nei due membri, moltiplicando per due e estraendo la radice

Si noti che la velocità di fuga da un corpo celeste non dipende dalla massa del corpo che “vuole” fuggire, ma solo dalla massa M dell’astro e dal suo raggio d: l’energia necessaria per lanciarlo invece sì.

Occorre notare che occorre una velocità minore per mettere in orbita un proiettile: infatti un corpo orbitante attorno alla Terra � ancora soggetto alla sua gravità. Naturalmente, se un corpo si trova in orbita richiederà meno energia per sfuggire dalla gravità terrestre, perché la sua distanza d dal centro del pianeta � maggiore e perché possiede già una certa energia cinetica.

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