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Funzione di Mertens

La funzione di Mertens, M(n), programmi la continuità dei numeri interi postive secondo la loro scomposizione in fattori e le scomposizioni in fattori dei loro vicinoi. È calcolata per un dato numero intero n aggiungendo sui risultati della funzione di Möbius per ogni numero intero da 1 a n, o, per metterla algebricamente,

con μ(k) che la funzione di Möbius. Poiché la funzione di Möbius ha soltanto tre valori di ritorno possibili, -1, 0 e +1, la funzione di Mertens si muovono corrispondentemente molto lentamente attraverso la linea di numero, con ascende spesso la compensazione dai punti gi e dai frequenti incroci del 0-axis. Dove ci sono lotti dei numeri primi e dei numeri sfenici, la funzione di Mertens potrebbe tuffarsi nel territorio negativo, rimbalzante nel territorio positivo dopo una serie di numeri di 2- o 4-fattori e rimanente allo stesso livello in cui là a lotti dei numeri in pieno di quadrati successivi. Di conseguenza, evidente, anche a qualcuno con soltanto una comprensione elementare dell'algebra, che ci no

Mertens egli stesso andato per quanto dire che ci no

Odlyzko ed te Riele in 1985 hanno dimostrato che questo errato, ma la loro prova richiede una comprensione del calcolo avanzato ed il valore esatto della prima x tali che la relativa radice quadrata di meno che la relativa funzione di Mertens ancora sconosciuto. Un tal valore, tuttavia, ha essere almeno 1012.

La funzione di Mertens non una funzione incorporata in Mathematica, ma e ha aggiunto abbastanza facilmente con la dichiarazione Mertens[x_] := Plus @@ MoebiusMu[Range[1, x]].

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