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Media

(Nota: se cercavi qualcosa inerente i mezzi di comunicazione di massa puoi leggere l'articolo inerente o la voce base comunicazione)
In statistica la media è un insieme di indicatori di posizione, anche se spesso si intende la media aritmetica.

Le principali medie sono

  • la media aritmetica,
  • la media geometrica e
  • la media armonica,
le quali a loro volta possono essere
  • sia semplici
  • che ponderate

A queste si possono aggiungere la mediana e la moda, le quali vengono calcolate in modo molto diverso rispetto alle tre altre medie.

Table of contents
1 Media aritmetica
2 Media geometrica
3 Media armonica
4 Definizione integrale

Media aritmetica

Media aritmetica semplice

Detto in modo molto semplice, la media aritmetica semplice è ... la media, così come viene intesa comunemente.

Viene calcolata sommando i diversi valori a disposizione, i quali vengono divisi con il numero complessivo di valori.

Formule

La formula della media aritmetica semplice è:

ovvero, utilizzano il simbolo della sommatoria:

Caratteristiche

La media, come tutti gli indici di posizione, ci dice all'incirca l'ordine di grandezza (la posizione sulla scala dei numeri, appunto) dei valori esistenti.

In particolare dice che: se abbiamo N valori, con media Ma, allora per conoscere la somma di tutti questi valori è sufficiente moltiplicare N con Ma. Ci permette così di avere un'idea della quantità complessiva conoscendo soltanto il valore medio e quanti valori ci sono.

Che si tratta di un indicatore di posizione lo si verifica facilmente, in quanto se aggiungiamo a tutti i valori una stessa quantità allora la media è anch'essa aumentata di quella stessa quantità. Inoltre, se moltiplichiamo tutti i valori con un determinato numero, allora anche la media aritmetica viene moltiplicata con tale numero.

Esempi

Problema: Abbiamo cinque bambini: Alessandro, Beatrice, Carmelo, Davide e Esmeralda. Alessandro ha 5(!) cioccolate, Beatrice e Davide una sola, mentre Carmelo ed Esmeralda hanno ciascuno due cioccolate. Domanda: mediamente, quante cioccolate hanno i cinque bambini? .

Soluzione: I 5 bambini hanno (in ordine alfabetico) 5, 1, 2, 1 e 2 cioccolate. Dunque:

media = (5 + 1 + 2 + 1 + 2) / 5 = 11 / 5 = 2,2

Perciò possiamo dire che mediamente i cinque bambini hanno 2,2 cioccolate ciascuno e messi insieme ne hanno 11.

È vero che in realtà nessuno dei cinque bambini ha 2,2 cioccolate: o ne hanno di più (beati loro) o ne hanno di meno. Scopriamo però che se anche Monica, Nando, Ottavio e Pinuccia hanno mediamente 2,5 cioccolate a testa, allora il primo gruppo di bambini ha complessivamente più cioccolate del secondo (ma i bambini del secondo gruppo sono pi` contenti).

Infatti 2,5·4 = 10 è più piccolo di 11.

Altro esempio: Abbiamo 5 sacchetti di castagne che pesano mediamente 200 grammi. Moltiplicando 200gr con 5, otteniamo che stiamo tenendo in mano un kilo di castagne. Non sappiamo però se tutti i sacchetti sono di circa 200gr. Potrebbe anche darsi che ce ne sia uno da mezzo chilo, uno da due etti e tre da un etto. Non lo possiamo sapere conoscendo soltanto la media.

E se i bambini da rendere felici sono i nove di prima, allora ciascuno riceverà mediamente 110gr di castagne. Se sono crude sono troppe, se sono arrosto temo che siano poche.

Facendosi aiutare da un software

Usando il pacchetto statistico R, si può calcolare la media aritmetica semplice nel seguente modo:

x <- c(5,1,2,1,2)
N <- length(x)
Ma <-  sum(x) / N
print(Ma)           # risultato: 2.2

oppure, approfittando di R:
x <- c(5,1,2,1,2) 
Ma <- mean(x)
print(Ma)           # risultato: 2.2

Per verificare che possiamo aggiungere o moltiplicare valori costanti, continuiamo i due esempi:

print(mean(x+100))  # risultato: 102.2 
print(mean(x*100))  # risultato: 220

Media aritmetica ponderata

Nella media ponderata, i singoli valori, prima di essere sommati vengono moltiplicati con il peso (ponderazione) a loro assegnato. La divisione non viene fatta con il numero di valori, ma con la somma dei pesi.

Formula e calcoli

La formula generale è

Ma,pond = ∑ xi·fi / ∑ fi

dove fi è il peso assegnato al valore identificato con i

È abitudine, quando si fanno i calcoli a mano, di prepararsi una piccola tabella:

Calcoli per la media aritmetica ponderata
ixifixi·fi
1122
2224
3515
511

Ricaviamo dalla tabella che: ∑ xi·fi = 11 e ∑ fi = 5 cosicché la media aritmetica ponderata è pari a 11/5=2,2.

Il fatto che si ottenga lo stesso risultato dell'esercizio precedente non è un caso, in quanto la media ponderata viene usata spesso dopo aver raggruppato tutti i valori trovati in giro, in quanto ci sono meno calcoli da fare, ovvero la stessa tabella riassuntiva può essere riciclata per disegnare istogrammi.

Facendosi aiutare da un software

Usando il pacchetto statistico R, si può calcolare la media aritmetica ponderata nel seguente modo:

x <- c(1,2,5)
f <- c(2,2,1)
Ma.pond <- sum(x*f) / sum(f)
print(Ma.pond)

oppure usando le funzioni specifiche di R:

x <- c(1,2,5)
f <- c(2,2,1)
Ma.pond <-  weighted.mean(x,f)
print(Ma.pond)

Media geometrica

La media geometica (semplice) è l'N-esima radice del prodotto di tutti gli N valori.

La media geometrica viene usata soprattutto quando i diversi valori vengono per loro natura moltiplicati tra di loro e non sommati. Esempio tipico sono i tassi di crescita (anche i tassi d'interesse o i tassi d'inflazione, purtroppo), adeguatamente modificati.

In questi casi è più corretto usare questo tipo di media al posto di quella aritmetica, perchè ha delle caratteristiche utili in quelle situazioni.

Caratteristiche e limiti

Il principale limite è che non si possono usare valori negativi. Una caratteristica è che valori piccoli (rispetto alla media geometrica) sono molto più importanti che valori grandi. In particolare, è sufficiente la presenza di un unico valore nullo, per rendere nulla la media, sia quella semplice che quella ponderata.

Media geometrica semplice

Formula
In formula si può definire la media geometrica come:

Esempi

Negli ultimi cinque anni sono stati rilevati i seguenti tassi d'inflazione: 3,2% per il 1997, 2,7% (1998), 2,8% (1999), 2,2% (2000) e 3,2% (2001).

Trattandosi di valori relativi e percentuali, li trasformiamo anzitutto dividendo con 100 e poi sommando loro 1. Otteniamo così per gli ultimi cinque anni degli indici dei prezzi (base=1996) pari a: 1,032 1,027 1,028 1,022 1,032.

Moltiplicando tra di loro questi cinque valori otteniamo

∏xi = 1,149142

Facendo la quinta radice (a questo punto deve saltar fuori o una calcolatrice che sa fare queste operazioni oppure un software, che può essere sia un foglio elettronico o, meglio ancora, un applicativo come R]), si ottiene

Mg = 5√1,149142 = 1,028193

Facendosi aiutare da un software

Usando il pacchetto statistico R, si può calcolare la media geometrica semplice nel seguente modo:

x <- c(1.032, 1.027, 1.028, 1.022, 1.032)
N <- 5
Mg <- prod(x)^(1/N)
print(Mg)

oppure, usando direttamente i dati sull'inflazione:

x <- c(3.2, 2.7, 2.8, 2.2, 3.2)
N <- 5
Mg <- prod(x/100 + 1)^(1/N)
print((Mg-1)*100)

Media geometrica ponderata

Mg,pond = ∑fi√( ∏xi·fi / ∑fi )

Media armonica

La media armonica è ... il reciproco della media aritmetica dei reciproci.

Particolarmente utile per qualche tipo di variabili come ad esempio per calcolare la velocità media lungo un percorso.

È vietato usare valori nulli (in matematica è un gravissimo errore dividere con zero), mentre sono leciti valori negativi.

Valori (sia positivi che negativi) vicini allo zero, sono molto più importanti di valori grandi. Infatti se in autostrada percorriamo metà del percorso a 120 km/h, e l'altra metà a 10 km/h (pare che succeda a tanti al rientro da Ferragosto), la velocità media complessiva è molto più vicina a 10 che a 120.

Esempi

Sia il tratto A che il tratto B sono lunghi 120 km. Percorrendo il primo tratto a 120 km/h ci impieghiamo 1 ora, per fare il secondo tratto a 10 km/h ci impieghiamo 12(dodici!) ore. Complessivamente ci impieghiamo 13 ore, percorrendo così l'intero percorso ad una media di 240km/13h = 18,46 km/h.

Utilizzano la media armonica otteniamo lo stesso risultato:

Mh = 2 / (1/120 + 1/10) 
   = 2 / (0,00833 + 0,1) 
   = 2 / 0,10833 
   = 18,46

Facendosi aiutare da un software

Usando il pacchetto statistico R, si può calcolare la media armonica semplice nel seguente modo:

v <- c(120,10)
Mh <- 1 / mean(1/v)
print(Mh)

Definizione integrale

Una generalizzazione del concetto di media a distribuzioni contiunue prevede l'uso di integrali. Supponiamo di avere una
funzione , integrabile. Allora si può definire la media come :

.

Pi in generale data una funzione dove un insieme sul quale definita una funzione di integrazione, si definisce la media come:

.


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