Nodi di Chebyshev

In matematica i nodi di Chebyshev, detti anche radici di Chebyshev, sono le radici dei polinomi di Chebyshev. Per ogni n intero naturale il polinomio n-esimo possiede n radici semplici interne all'intervallo [−1, 1]. Una tale n-upla costituisce una buona scelta per una interpolazione su n punti nel suddetto intervallo, in quanto consente di evitare il problema del fenomeno di Runge.

I nodi di Chebyshev del polinomio n-esimo sono dati da

dove  

Dimostrazione

Sia T_n il polinomio di Chebyshev n-esimo:

La funzione coseno ha radici periodiche

per ogni intero i, che dà

Perciò le radici del polinomio di Chebyshev n-esimo si trovano quando

che può essere risolto per x_i ottenendo

CVD

Per interpolazioni in un intervallo arbitrario [a, b], si può effettuare la trasformazione lineare che manda [−1, 1] nel suddetto intervallo e si ottengono i punti

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