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Matematica

"I matematici parlano con Dio, i fisici parlano con i matematici, gli altri parlano fra loro" - (detto anonimo)

Per orientarsi tra gli articoli della presente enciclopedia concernenti possono servire gli elenchi, i glossari e le panoramiche raccolti nella voce 'Indici per la matematica.

Table of contents
1 Matematica è ...
2 Gli argomenti della matematica
3 Ripartizione della matematica
4 Matematica e ..

Matematica è ...

Gli argomenti della matematica

La parola "matematica" deriva dal greco μάθημα (máthema), traducibile con i termini "scienza", "conoscenza" o "apprendimento"; μαθηματικός (mathematikós) significa "desideroso di apprendere".

Con questo termine attualmente si designa la disciplina che, in prima approssimazione, possiamo dire che si occupa dei procedimenti che consentono di impostare e risolvere problemi concernenti quantità, estensioni e figure spaziali, movimenti di corpi e dei metodi che permettono di trattare in modo tendenzialmente generale i suddetti procedimenti.

La matematica ha una lunga tradizione presso tutti i popoli, stata la prima a dotarsi di metodi di elevato rigore e portata, e quindi a raggiungere lo status di scienza, ha progressivamente ampliato gli argomenti della sua indagine e progressivamente ha esteso i settori ai quali può fornire aiuti computazionali e di modellizzazione. E` significativo che in talune lingue e in talune situazioni al termine singolare si preferisce il plurale matematiche.

È unanime il riconoscimento che la matematica continua ad ottenere risultati specifici e metodologici di alta incisività e di superiore attendibilità.

Nel corso della sua lunga storia si sono avuti periodi di grandi progressi e periodi di stagnazione degli studi. Questo in buona parte dovuto all'importanza dei singoli personaggi capaci di dare apporti profondamente innovativi e illuminanti e di stimolare all'indagine matematica grazie alle loro doti didattiche. Si sono avuti anche periodi di arretramento delle conoscenze e dei metodi: questi però si sono riscontrati solo in relazione a eventi distruttivi o a periodi di decadenza complessiva della vita intellettuale e civile. In complesso comunque nella storia della matematica prevale la crescita progressiva del patrimonio di risultati e di metodi.

Questo dovuto alla natura stessa delle attività matematiche. Esse sono costantemente tese alla esposizione precisa dei problemi e delle soluzioni e questo impone di comunicare avendo come fine ultimo la possibilità di chiarire tutti i dettagli delle costruzioni logiche e dei risultati (anche molti chiarimenti richiedono un impegno non trascurabile); e questo ha comportato la definizione di un linguaggio per molti versi esemplare come strumento per la trasmissione e la sistemazione delle conoscenze. Le attività matematiche inoltre sono naturalmente interessate alle possibili generalizzazioni e astrazioni, in vista delle economie di pensiero e delle padronanze degli strumenti (ad es. strumenti di calcolo) che esse possono realizzare; generalizzazioni e astrazioni quindi possono condurre a visioni pi approfondite dei problemi e stabilire rilevanti sinergie tra progetti di indagine inizialmente rivolti ad obiettivi non collegati.

Lo stile del lavoro e della comunicazione dei matematici, in effetti, rende rari i casi di errori o di vuoti nelle costruzioni conoscitive che non sono stati riconosciuti e corretti (o almeno additati per una risoluzione) in tempi brevi a causa del ritardo di analisi sufficientemente approfondite.

Nel corso dello sviluppo della matematica si possono invece rilevare periodi ed ambienti nei quali prevalgono alternatamente atteggiamenti generali e valori riconducibili a due differenti generi di motivazioni e di approcci: le motivazioni applicative, con la loro spinta a individuare procedimenti efficaci, e le esigenze di sistemazione concettuale con la loro sollecitazione verso generalizzazioni, astrazioni e panoramiche strutturali. Si tratta di due generi di atteggiamenti tra i quali si costituisce una certa polarizzazione; questa talora può diventare contrapposizione, ma in molte circostanze i due atteggiamenti stabiliscono rapporti di reciproco arricchimento e sviluppano sinergie. Nel lungo corso dello sviluppo della matematica si sono avuti periodi di prevalenza, anche astiosa, di uno o dell'altro dei due atteggiamenti e dei rispettivi sistemi di valori. Del resto la stessa nascita della matematica può ragionevolmente ricondursi a due ordini di interessi: da un lato le esigenze applicative che fanno ricercare valutazioni praticabili; dall'altro la ricerca di verità tutt'altro che evidenti, forse nascoste, che risponde ad esigenze immateriali, di natura filosofica, religiosa e quindi anche estetica.

Negli ultimi 30 o 40 anni tra i due atteggiamenti si riscontra un certo equilibrio non privo di continue tensioni, ma con molteplici episodi di mutuo supporto. A questo stato di cose contribuisce non poco la crescita del mondo del computer, rispetto al quale il mondo della matematica presenta sia canali di collegamento (che sarebbe assurdo cercare di interrompere) che differenze, ad es. in termini di velocità di mutazione e di stile comunicativo, che vedono le due discipline agli antipodi.


Cerchiamo ora di segnalare a grandi linee i temi oggetto della indagine matematica, procedendo ad illustrare una sorta di itinerario guidato per il progressivo accostamento delle problematiche, delle argomentazioni e delle sistemazioni teoriche.

I primi problemi che inducono ad accostarsi alla matematica sono quelli che si possono affrontare con l'aritmetica elementare: si tratta di calcoli eseguibili con le quattro operazioni che possono riguardare contabilità finanziarie, valutazioni di grandezze geometriche o meccaniche, calcoli relativi agli oggetti ed alle tecniche che si incontrano nella vita quotidiana.

I pi semplici di questi calcoli possono effettuarsi servendosi solo di numeri interi naturali, ma presto i problemi di calcolo richiedono di saper trattare i numeri interi relativi e i numeri razionali.

I problemi computazionali pi semplici sono risolti mediante formule che forniscono risultati conseguenti. Complicando gli enunciati diventa necessario di servirsi di equazioni. Le pi semplici sono le lineari, sia perché ad esse portano le questioni geometriche pi semplici, sia perché sono risolvibili, tutte o quasi con procedimenti standard.

Nella geometria piana elementare si pongono anche problemi costruttivi che richiedono di approfondire varie costruzioni geometriche

Nelle formule e nelle equazioni conviene far entrare parametri il cui valori si lasciano indeterminati: in tal modo si viene a disporre di strumenti di portata pi generale, che permettono di conseguire evidenti economie di pensiero. Per meglio valutare le formule e per risolvere molti tipi di equazioni si rende necessario sviluppare un calcolo letterale che permetta di rimaneggiare certe formule. Le regole di questo calcolo letterale costituiscono la cosiddetta algebra elementare: questa si può considerare una tecnica che può rivelarsi utile per tutti.

Prime esigenze di impostazione sistematica e di efficienza e conseguente necessità di astrazione: quindi si perviene a prestare buona attenzione allo studio delle strutture.

Teoria dei numeri

Strutture algebriche

Geometria euclidea e geometria analitica; modelli lineari e soluzione di sistemi di equazioni lineari, matrici

Successioni, serie e convergenza

Numeri reali e continuo

Calcolo infinitesimale, derivate, integrali

Equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali.

Funzioni reali e di variabile complessa

Funzioni speciali.

Calcolo combinatorio, calcolo delle probabilità e statistica.

Algoritmi e programmazione

teoria dei grafi e ricerca operativa.

Strutture combinatorie e combinatoria algebrica

Geometria differenziale

Fisica matematica

Teorie relativistiche

Geometria algebrica

Topologia

Analisi funzionale

Teorie quantistiche

Sistemi dinamici

Fondamenti della matematica, teoria degli insiemi e logica matematica.

Ripartizione della matematica

Quantità

Numero -- Numeri naturali -- Pi Greco -- Numeri interi -- Numeri razionali -- Numeri reali -- Numeri complessi -- Numeri ipercomplessi -- Quaternioni -- Octonioni -- Sedenioni -- Numeri Iperreali -- Numeri Surreali -- Numeri Ordinati -- Numeri cardinali -- Numeri p-adice -- Sequenze di Interi -- Costanti matematiche -- Nome dei numeri -- Infinito

Strumenti

Aritmetica -- Algebra -- Calcolo vettoriale -- Analisi -- Equazioni differenziali -- Teoria dei sistemi -- Teoria del caos -- Lista di funzioni -- Equazioni differenziali a derivate parziali

Strutture

Algebra astratta -- Teoria dei numeri -- Algebra geometrica -- Teoria dei gruppi -- Monoidi -- Analisi -- Topologia -- Algebra lineare -- Teoria dei grafi -- Algebra universale -- Teoria delle categorie

Spazi

Topologia -- Geometria -- Trigonometria -- Geometria algebrica -- Geometria differenziale -- Topologia differenziale -- Topologia algebrica -- Algebra lineare -- Geometria frattale

Matematica discreta

Calcolo combinatorio -- Teoria ingenua degli insiemi -- Probabilità -- Teoria della computazione -- Matematica finita -- Crittografia -- Teoria dei grafi -- Teoria dei giochi

Matematica applicata

Meccanica -- Analisi numerica -- Ottimizzazione -- Probabilità -- Statistica -- Matematica finanziaria

Teoremi e congetture famose

Ultimo teorema di Fermat -- Ipotesi di Riemann -- Ipotesi del continuo -- Complessità P e NP -- Congettura di Goldbach -- Congettura dei numeri primi gemelli -- Teorema dell'incompletezza di Godel -- Congettura di Poincar -- Diagonale di Canton -- Teorema di Pitagora -- Teorema del limite centrale -- Teorema fondamentale del calcolo infinitesimale -- Teorema fondamentale dell'algebra -- Teorema fondamentale dell'aritmetica -- Teorema dei quattro colori -- Lemma di Zorn -- Identità di Eulero -- Congettura di Scholz

Fondazioni e metodi

Filosofia della matematica -- Intuizionismo matematico -- Costruttivismo matematico -- Fondazione della matematica -- Teoria degli insiemi -- Logica simbolica -- Teoria dei modelli -- Teoria delle categorie -- Theorem-proving -- Logica -- Matematica inversa -- Tabella dei simboli matematici

Persone e premi

Matematici celebri -- Matematici italiani -- Statistici celebri -- Medaglia Fields -- Premio Nevanlinna -- Premio Clay -- Premio Schock -- Premio Steele -- Premio Balzan

Matematica e ..


Astronomia | Biologia | Botanica | Chimica | Ecologia | Economia | Fisica | Geometria | Informatica | Matematica | Medicina | Statistica | Telecomunicazioni


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