Numero
Un numero è una entità astratta usata per descrivere una quantità . Vi sono differenti tipi di numeri. Quelli maggiormente conosciuti sono i numeri naturali { 0, 1, 2... } usati per contare e indicati con N.Se si introduce la differenza di segno (distinguendo tra numeri positivi e numeri negativi, si ottengono i numeri interi denominati con il simbolo Z. I numeri dotati di segno (+ o -) sono detti numeri relativi.
Se i numeri interi vengono utilizzati per definire un rapporto si ottengono i numeri razionali, cioè esprimibili tramite una frazione (ratio in latino). L'insieme di tutti i numeri razionali è definito col simbolo Q.
I numeri razionali non comprendono tutti i numeri esprimibili con la virgola. Ci sono numeri con un numero infinito di cifre decimali non periodiche, che non possono essere espressi come frazione di due interi: per esempio, (Pi Greco), . Tali numeri vengono detti irrazionali, perché non ottenibili come frazioni.
L'unione dei numeri interi, razionali e irrazionali forma l'insieme dei numeri reali, indicato con R.
L'insieme dei numeri reali non è però sufficiente a fornire tutte le soluzioni delle equazioni algebriche. Per esempio, l'equazione
non ha soluzioni nel campo dei numeri reali, perché in questo insieme il quadrato di un numero è sempre positivo. Per risolvere questo problema, è stata introdotta l'unità immaginaria i, tale che . Tale numero non appartiene all'insieme dei numeri reali, bensì all'insieme dei numeri complessi.I suddetti simboli sono spesso scritti in grassetto, così:
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2 Estensioni 3 Somiglianze nella varie culture 4 Numeri particolari |
Numeri complessi
I numeri complessi sono stati estesi a loro volta, ottenendo i quaternioni, ma la moltiplicazione dei quaternioni non è dotata della proprietà commutativa. Gli ottonioni, a loro volta, estendono i quaternioni, ma questa volta, si perde la proprietà associativa. Infatti, gli unici sistemi associativi con dimensione finita oltre ai reali sono i quaternioni e i numeri complessi.
I numeri vanno distinti dai nomi utilizzati per indicare i numeri, dato che i numeri sono dei concetti e anche se i nomi utilizzati nelle varie lingue variano i concetti rimangono sempre gli stessi. La notazione di numero come serie di cifre è definita dai sistemi di numerazione. I popoli spesso associano a dei numeri utilizzati di frequente dei nomi particolari, oltre a quelli che vengono assegnati dal sistema di numerazione, spesso questi nomi sono utilizzati in contesti specifici, un classico esempio è la dozzina.
Estensioni
Gli ultimi sviluppi della teoria dei numeri sono stati i numeri iperreali e i numeri surreali, che estendono i numeri reali dai numeri infinitesimi fino ai numeri infinitamente grandi attraverso degli inserimenti. Mentre (normalmente) i numeri reali sono infinitamente prolungabili alla destra del punto decimale, si può anche provare a espandere i numeri anche a sinistra in modo infinito, ciò conduce ai numeri p-adici. Per gestire degli insiemi infiniti, i numeri naturali sono stati generalizzati nei numeri ordinali e nei numeri cardinali. Il primo insieme viene utilizzato per definire l'ordine di inserimento degli insieme il secondo definisce il formato di inserimento. Nel caso di insiemi infiniti si equivalgono.
Le operazioni aritmetiche sui numeri sono addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, queste operazioni sono state generalizzate in una branca dell'algebra chiamata algebra astratta, che contiene i concetti di gruppo, anello e campo.
Somiglianze nella varie culture
In molte culture la rappresentazione grafica dei numeri è molto simile, i numeri "uno", "due" e "tre" degli antichi romani erano espressi come I, II, III (Numeri romani). I cinesi usavano una notazione analoga, con le cifre in orizzontale, o in verticale, ma al contrario dei romani utilizzavano un sistema posizionale, simile al nostro, con le cifre da 0 a 9. I numeri, detti tsu o hêng, cambiavano orientamento a seconda della posizione: | = | era 121, - || - â—¦ era 1210. Gli tsu sono verticali, gli hêng orizzontali, i numeri sopra al cinque avevano una bacchetta disposta perpendicolarmente alle altre. Il sistema era impiegato con le bacchette da calcolo, che i cinesi manovravano a velocità tali da stupire i primi missionari nestoriani.
Tuttavia, non c'è un segno univoco per definire il quattro tra i romani, mentre per i cinesi era ||||. I romani usavano una notazione a sottrazione: esprimevano il quattro con una V preceduta da una I. La V indica il numero cinque, il simbolo I anteposto indica che va sottratto, e cinque meno uno fa quattro. Nell'assegnare un simbolo particolare al cinque c'è un evidente vantaggio antropomorfico, la mano ha cinque dita ma vi è anche una motivazione nascosta che coinvolge il nostro cervello. Gli psicologi hanno dimostrato che il nostro cervello ha difficoltà a distinguere più di cinque simboli simili vicini: infatti provate con uno sguardo a dire se è più grande IIIIIIIII o IIIIIIIIII; più semplice dirlo se scritti come IX e X.
Il sistema detto numerazione araba, che in realtà proviene dall'India, e molto probabilmente deriva a sua volta dai numeri corsivi egiziani, i numeri copti, è un altro esempio di come i numeri possono essere scritti. L'1 è molto simile al simbolo romano, 2 e 3 sono delle varianti dello stesso simbolo che consentono di scrivere i numeri senza dover alzare la penne e quindi consentono una scrittura rapida ma comunque conservano l'idea della linea orizzontale, col simbolo 4 la corrispondenza si perde.
