Numeri reali

In matematica, i numeri reali sono definiti in modo intuitivo come i numeri che sono in corrispondenza biunivoca con i punti su una retta infinita: la retta numerica. Il termine "numero reale" è stato coniato in contrapposizione a "numero immaginario".

I numeri reali possono essere razionali o irrazionali; algebrici o transcendentali; positivi, negativi o zero.

I numeri reali misurano quantità continue. In teoria possono essere espressi come frazioni decimali aventi una sequenza infinita di cifre a destra della virgola decimale; queste possono essere rappresentate in modo inesatto nella forma 324,823211247... (dove i tre punti esprimono il fatto che ci sono altre cifre e, per quante ce ne siano, ne possono essere aggiunte altre).

Le misure in fisica sono sempre un'approssimazione ad un numero reale. Scriverle sotto forma di frazione decimale (cioè numeri razionali che possono essre espressi come rapporti, con un denominatore esplicito) non è solo più coinciso, ma in qualche modo esprime il senso del numero reale che ci sta sotto. È come se uno dicesse "Sto scrivendo solo la parte del numero che conosco; è infinitamente lungo e fermarmi dopo un numero finito di cifre rappresenta il fatto che mi sto fermando prima di effettuare infiniti esperimenti sempre più accurati ed arrivare quindi ad un'infinita serie di cifre, che sarebbe l'unico modo per approssimare il risultato finale."

I numeri reali sono l'oggetto principale di studio in analisi reale.

Un numero si dice calcolabile se esiste un algoritmo che produce le sue cifre. Poiché esiste un infinito calcolabile di algoritmi ma un infinito non calcolabile di numeri reali, la maggior parte dei numeri reali non è calcolabile. Qualche costruttivista accetta l'esistenza solo dei reali che sono calcolabili. L'insieme dei numeri definibili è più ampio ma ancora numerabile.

I computer possono solo approssimare la maggior parte dei numeri reali con numeri razionali; queste approssimazioni sono conosciute come numeri in virgola mobile o numeri in virgola fissa. I sistemi di Computer algebra sono in grado di trattare alcuni numeri reali in modo esatto utilizzando la loro descrizione algebrica (come per esempio "sqrt(2)") piuttosto che la loro approssimazione decimale.

I matematici utilizzano il simbolo R (o in alternativa, , la lettera "R" rappresenta l'insieme di tutti i numeri reali.

In matematica, il termine "real XXX" significa che il sottostante campo numerico è il campo dei numeri reali. Per esempio vedere matrice reale, polinomio reale e algebra di Lie reale.

Table of contents

1 Storia 2 Definizione 2.1 Costruzione dei numeri razionali 2.2 Approccio assiomatico 3 Proprietà 3.3 Completezza 3.4 "Il campo con ordinamento totale" 3.5 Proprietà avanzate 4 Generalizzazioni ed estensioni

Storia

Le frazioni sono state usate dagli Egizi intorno al 1000 AC; intorno al 500 AC, i matematici Greci guidati da Pitagora sentirono la necessità di introdurre i numeri irrazionali. L'uso dei numeri negativi è accreditato intorno al XVII secolo e furono scoperti dai matematici arabi. Lo sviluppo del calcolo infinitesimale nel XVIII secolo utilizzò l'intero insieme dei numeri reali senza averli definiti esplicitamente. La prima definizione rigorosa fu data da Georg Cantor nel 1871.

Definizione

Costruzione dei numeri razionali

I numeri reali possono essere costruiti come completamento topologico dei numeri razionali. Per dettagli ed altre costruzioni dei numeri reali, vedere Costruzione dei numeri reali.

Approccio assiomatico

Sia R l'insieme di tutti i numeri reali. Allora:

• L'insieme R è un campo, per esempio somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione sono definite con le proprietà usuali.
• Il campo R è ordinato, per esempio, esiste un ordinamento totale ≥ tale che, per tutti i numeri reali x, y e z:
  • se x ≥ y allora x + z ≥ y + z;
  • se x ≥ 0 e y ≥ 0 allora xy ≥ 0.
• L'ordinamento è Dedekind-completo, per esempio, ogni sottoinsieme non vuoto S di R con un maggiorante in R ha un estremo superiore (chiamato anche estremo) in R.

L'ultima proprietà è quella che differenzia i reali dai razionali. Per esempio, l'insieme dei numeri razionali il cui quadrato è minore di 2 ha un maggiorante razionale (per esempio 1,5) ma il minore dei maggioranti non è razionale in quanto la radice quadrata di 2 non è razionale.

I numeri reali son definiti in modo univoco dalla proprietà precedente. Detto in modo più preciso, dati due campi ordinati Dedekin-completi R₁ e R₂, esiste un unico campo isomorfismo da R₁ a R₂, questa proprietà permette di pensare ad essi come ad un unico oggetto matematico.

Proprietà

Completezza

La ragione principale che ha portato all'introduzione dei reali è che i reali contengono tutti i limiti. Più precisamente, i reali sono un insieme completo (nel senso dello spazio metrico o spazio uniforme, che ha un significato differente dalla completezza di Dedekind dell'ordine introdotta nel paragrafo precedente). Questo significa che:

• Una serie (x_n) di numeri reali è una serie di Cauchy se per ogni ε > 0 esiste un intero N (possibilmente dipendente da ε) tale che la distanza |x_n - x_m| è minore di ε, n e m sono entrambi maggiori di N.

In altre parole, una serie è una serie di Cauchy se i suoi elementi x_n ad un certo punto diventano arbitrariamente vicini.

• Una serie (x_n) converge al limite x se per ogni ε > 0 esiste un intero N (possibilmente dipendente da ε) tale che la distanza |x_n - x| è minore di ε con n maggiore di N.

In altre parole, una serie ha limite x se i suoi elementi ad un certo punto diventano e rimangono vicini arbitrariamente a x.

È facile dedurre che ogni serie convergente è una serie di Cauchy. A proposito dei numeri reali è importante notare che la seguente affermazione è vera:

Ogni serie di Cauchy di numeri reali è convergente.

Significa che l'insieme dei reali è completo.

Bisogna notare che l'insieme dei razionali non è completo. Per esempio, la serie (1, 1,4, 1,41, 1,414, 1,4142, 1,41421,...) è di Cauchy ma non converge ad un numero razionale (nel campo dei numeri reali, al contrario, converge alla radice quadrata di 2).

L'esistenza dei limiti delle serie di Cauchy permette al calcolo infinitesimale di funzionare ed è di grande utilità nella pratica. Il test numerico standard per verificare se una serie ha un limite è testare se è una serie di Cauchy, poiché di solito il limite è già conosciuto.

Per esempio la serie standard della funzione esponenziale

converge ad un numero reale perché per ogni x le somme

possono essere rese arbitrariamente piccole scegliendo N sufficientemente grande. Questo prova che la serie è di Cauchy, così noi sappiamo che la serie converge anche se non sappiamo qual'è il suo limite.

"Il campo con ordinamento totale"

I numeri reali sono spesso descritti come "il campo con ordinamento totale", una frase che può essere interpretata in diversi modi.

Prima di tutto, un ordinamento può essere lattice complete. È facile vedere che nessun campo ordinato può essere lattice complete, perché può non avere l'elemento massimo (dato un elemento z, z + 1 è più grande). Non è questo il senso della frase.

In secondo luogo, un ordinamento può essere Dedekind-complete, come definito nella sezione Assiomi. L'unicità del risultato al termine di questa sezione giustifica l'uso della parola "il" nella frase "campo con ordinamento totale" quando uesto è il senso di "totale" che intendiamo. Questo significato ditotalità è quello più correlato con la costruzione dei numeri reali a partire dalle sezioni di Dedekind, dal momento che la costruzione parte da un campo ordinato (i razionali) e poi si arriva alla completezza di Dedekind di esso in modo standard.

Queste due nozioni di completezza ignorano la struttura del campo. In ogni modo, un gruppo ordinato (e un campo è un gruppo con le operazioni di somma e sottrazione) definisce una struttora uniforme e le strutture uniformi sono dotate del concetto di completezza; la descrizione nella sezione Completezza è un caso particolare. (Ci riferiamo alla completezza negli spazi uniformi e non a quella maggiormente conosciuta per gli spazi metrici, poiché la definizione di spazio metrico ha a che fare con una proprietà caratteristica dei numeri reali). Non è vero che R è l'unico campo uniformly complete ordered, ma è l'unico campo ordinato completo dotato della proprietà di Archimede, quindi si può sentire spesso la frase "campo completo di Archimede" invece di "campo ordinato completo". Poiché si può dimostrare che ogni campo di Archimede uniformemente completoè anche completo secondo Dedekind (e vice versa), questo giustifica l'uso di "il" nella frase "il campo completo di Archimede". Questo significato di completezza è quello più correlato con la costruzione dei numeri reali a partire dalle serie di Cauchy (la costruzione è riportata in questo articolo),poiché comincia con un campo dotato della proprietà di di Archimede (i razionali) e costruisce la completezza uniforme nel modo standard.

L'uso riginale della frase "campo completo con la proprietà di Archimede" fatto da David Hilbert, aveva uno scopo ancora diverso dai precedenti. Egli voleva dire che i numeri reali forano il più grande campo con la proprietà di Archimedenel seso che ogni altro campo con la proprietà di Archimede è conenuto in R. Quindi R è "completo" nel senso che nulla può essere aggiunto ad esso senza smettere di soddisfare ancora la proprietà di Archimede. Questo significato di completezza è il più vicino alla costruzione dei numeri reali a partire dai numeri surreali, poiché la costruzione comincia con una classe che contiene ogni campo ordinato (i surreali) e seleziona da essa il più grande sottocampo con la proprietà di Archimede.

Proprietà avanzate

I reali non sono numerabili cioè l'insieme de numeri reali è strettamente più grande di quello dei numeri naturali (pur considerando che entrambi sono infiniti). Questo si può dimostrare con il procedimento diagonale di Cantor. Effettivamente la cardinalità dei reali è 2^ω (vedi numeri cardinali), per esempio la cardinalità dell'insieme dei sottoinsiemi di numeri naturali. Poiché solo un insieme numerabile di numeri reali può essere algebrico, almost all i numeri reali sono trascendentali. La non esistenza di un sottoinsieme di un sottoinsieme dei numeri reali la cui carinalità sia strettamente compresa tra quella degli interi e quella dei reali è detta ipotesi del continuo. Questo non può essere né dimostrato né confutato ma è indipendente dagli assiomi della teoria degli insiemi.

I numeri reali formano uno spazio metrico: la distanza tra x e y è definita come il valore assoluto |x - y|. Poiché è un insieme totalmente ordinato, essi sono dotati di un ordine topologico; la topologia che nasce dalla metrica e quella che deiva dall'ordinamento sono identiche. L'insieme dei numeri reali è contraibile (poiché è uno spazio metrico separabile connesso e semplicemente connesso), localmente compatto, di dimensione 1 e ovunque denso. L'insieme dei numeri reali non è compatto. Vi sono alcune proprietà specifiche dell'insieme dei reali; per esempio tutti gli ordinamenti topologici non limitati, continui e separabilei sono necessariamente omeomorfi ai reali

Ogni numero reale non negativo ha la sua [[radice quadrata in R, i reali negativi no. Questo dimostra che l'ordinamento in R è determinato dalla sua struttura algebrica. Inoltre, ogni polinomio di grado dispari ha almeno una radice: queste due proprietà fanno di R il primo esempio di campo reale chiuso. Questa dimostrazione è il primo passo per dimostrare il teorema fondamentale dell'algebra.

I numeri reali sono dotati di una misura canonica, la misura di Lebesgue, che è la misura di Haar della loro struttura come gruppo topologico normalizzato in modo che l'intervballo unitario [0,1] è pari a 1.

L'assioma supremo dei numeri reali si riferisce a sottoinsiemi di reali e quindi è un predicato di logica del second'ordine. Non è possibili caratterizzare i reali solo con la logica del prim'ordine: il teorema di Löwenheim-Skolem; implica che esiste un insieme denso numerabile di numeri reali che soddisfa gli stessi predicati nella logica del prim'ordine come i numeri reali stessi. L'insieme dei numeri iperreali è più grande di R ma sofddisfa gli stessi predicati della logica del prim'ordine di R. I campi ordinati che sodddisfano gli stessi predicati della logica del prim'ordine come R sono chiamati modelli non-standard di R. Questo è ciò che permette all'analisi non-standard di funzionare; dimostrando un predicato del prim'ordine in qualche modello non-standard (che può essere più semplice che dimostrarlo in R), sappiamo che lo stesso predicato è vero anche per R.

Generalizzazioni ed estensioni

I numeri reali possono essere generalizzati ed estesi in numerose direzioni. Forse l'estensione più naturale è quella dei numeri complessi che contiene le radic di tutte le equazioni polinomiali. In ogni modo, i numeri complessi non sono un campo ordinato. Campi ordinati che estendono i reali sono i numeri iperreali e i numeri surreali; entrambi contengono numeri infinitesimali ed infinitamente grandi ma non sono un gruppo di Archimede. Occasionalmente , gli elementi formali +∞ e -∞ sono aggiunti ai reali per formare la retta numerica estesa, uno spazio compatto che non è un campo ma mantiene molte delle proprietà dei numeri reali. Gli Hermitiani su uno spazio di Hilbert (per esempio, self-adjoint square complex matrici) generalizzano i reali in molti aspetti: possono essere ordinati (non totalmente), sono completi, i loro autovalori sono reali e formano un'algebra associativa reale. Gli operatori definiti positivi corrispondono ai numeri reali positivi e gli operatori normali corrispondono ai numeri complessi.

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