Algebra di Lie

In matematica, una algebra di Lie (prende il nome da Sophus Lie) � una struttura algebrica usata principalmente per lo studio di oggetti geometrici come i gruppi di Lie e le varietà differenziabili.

Table of contents

1 Definizione
2 Esempi
3 Omomorfismi, Subalgebre e Ideali
4 Classificazione delle algebre di Lie
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Definizione

Un'algebra di Lie � uno spazio vettoriale g su un certo campo F (generalmente i numeri reali o i numeri complessi) insieme ad un operatore binario [·, ·] : g × g -> g, detto prodotto di Lie, che soddisfa le seguenti proprietà:

� bilineare, cio� [a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z] e [z, a x + b y] = a [z, x] + b [z, y] per tutti gli a, b in F e tutti gli x, y, z in g.
Soddisfa l'identità di Jacobi, cio� [[x, y], z] + [[z, x], y] + [[y, z], x] = 0 per tutti gli x, y, z in g.
[x, x] = 0 per tutti gli x in g.

Notare che la prima e la terza proprietà insieme implicano [x, y] = − [y, x] per tutti gli x, y in g (antisimmetria): viceversa l'antisimmetria implica la proprietà 3 di cui sopra se F non ha caratteristica 2. Notare anche che in generale il prodotto di Lie non � associativo, cio� [[x, y], z] non � necessariamente uguale a [x, [y, z]].

Esempi

Ogni spazio vettoriale diventa banalmente un'algebra di Lie abeliana se definiamo un prodotto di Lie identicamente nullo.
Lo spazio euclideo R³ diventa un'algebra di Lie prendendo come prodotto di Lie il prodotto esterno (prodotto vettoriale) fra vettori.
Data un'algebra associativa A con moltiplicazione *, questa può venire trasformata in un'algebra di Lie definendo [x, y] = x * y − y * x.

Questa espressione � detta il commutatore di x e y. Viceversa si può dimostrare che ogni algebra di Lie può essere inglobata in questo modo in un'altra, ricavata in questo modo da un'algebra associativa.

Altri esempi importanti di algebre di Lie vengono dalla topologia differenziale: i campi vettoriali di una varietà differenziabile formano un'algebra di Lie a infinite dimensioni; per due campi vettoriali X e Y il prodotto di Lie [X, Y] � definito da : [X, Y] f = (XY − YX) f per ogni funzione f sulla varietà

(qui noi consideriamo i campi vettoriali che trasformano funzioni su una varietà in altre funzioni). Questa � l'algebra di Lie del gruppo di Lie ad infinite dimensioni dei diffeomorfismi della varietà.

Lo spazio vettoriale dei campi vettoriali sinistra-invarianti su un gruppo di Lie � chiuso sotto questa operazione e perciò � un'algebra di Lie a dimensione finita. In alternativa si può pensare lo spazio vettoriale sotto l'algebra di Lie che appartiene al gruppo di Lie come lo spazio tangente all'elemento identità del gruppo. La moltiplicazione � il differenziale del gruppo commutatore (a,b) |-> aba⁻¹b⁻¹ all'elemento identità.
Come esempio concreto consideriamo il gruppo di Lie SL(n,R) di tutte le matrici quadrate nxn con elementi reali e determinante 1. Lo spazio tangente alla matrice identità si può individuare nello spazio di tutte le matrici nxn con traccia zero, e la struttura dell'algebra di Lie derivante dal gruppo di Lie coincide con quella che sorge dai commutatori della moltiplicazione matriciale.

Per ulteriori esempi sui gruppi di Lie e le algebre di Lie associate, vedi l'articolo sul gruppo di Lie.

Omomorfismi, Subalgebre e Ideali

Un omomorfismo φ : g -> h fra due algebre di Lie g ed h sullo stesso campo base F � una mappa F-lineare tale che [φ(x), φ(y)] = φ([x, y]) per tutti gli x e y in g. La composizione di tali omomorfismi � ancora un omomorfismo, e le algebre di Lie sul campo F, insieme con questi morfismi formano una categoria. Se un tale omomorfismo � biettivo viene chiamato isomorfismo, e le due algebre di Lie g e h sono dette isomorfiche. Per tutti gli scopi pratici, due algebre di Lie isomorfiche sono identiche.

Una subalgebra del'algebra di Lie g � un sottospazio lineare h di g tale che [x, y] ∈ h per tutti gli x, y ∈ h: la subalgebra � quindi essa stessa un'algebra di Lie.

L'ideale dell'algebra di Lie g � un sottospazio h di g tale che [a, y] ∈ h per tutti gli a ∈ g e y ∈ h. Tutti gli ideali sono subalgebre. Se h � un ideale di g allora lo spazio quoziente g/h diventa un'algebra di Lie definendo [x + h, y + h] = [x, y] + h per tutti gli x, y ∈ g. Gli ideali sono precisamente i kernel degli omomorfismi, e il teorema fondamentale degli omomorfismi vale anche per le algebre di Lie.

Classificazione delle algebre di Lie

Le algebre di Lie si possono classificare, almeno in una certa misura, e questo � un passo importante verso la classificazione dei gruppi di Lie. Ogni algebra di Lie reale o complessa a dimensioni finite nasce come algebra di Lie di un gruppo di Lie reale o complesso semplicemente connesso (teorema di Ado), ma possono esistere pi� gruppi di Lie, anche non semplicemente connessi, che danno origine alla stessa algebra. Per esempio i gruppi SO(3) (matrici ortogonali 3×3 con determinante 1) e SU(2) (matrici unità 2×2 con determinante 1) danno entrambi origine alla stessa algebra di Lie, precisamente la R³ con prodotto esterno.

Un'algebra di Lie � abeliana se il prodotto di Lie � identicamente nullo per tutti gli x e y; pi� in generale un'algebra di Lie g � nilpotente se la serie centrale inferiore: g > [g, g] > [[g, g], g] > [[[g, g], g], g] > ... � zero da un certo punto in poi. Per il teorema di Engel un'algebra di Lie � nilpotente se e solo se per ogni u in g la mappa

ad(u): g → g

definita da

ad(u)(v) = [u,v]

� nilpotente. Ancora pi� in generale, un'algebra di Lie g � detta solvibile se le serie derivate: g > [g, g] > [[g, g], [g,g]] > [[[g, g], [g,g]],[[g, g], [g,g]]] > ... sono zero da un certo punto in poi. Una subalgebra massimamente solvibile � chiamata subalgebra di Borel.

Un'algebra di Lie g � detta semisemplice se l'unico ideale solvibile di g � banale. Equivalentemente, g � semisemplice se e solo se la forma K(u,v) = tr(ad(u)ad(v)), detta killing form, � non degenere: qui, tr denota l'operatore traccia.

Quando il campo F ha caratteristica zero, g � semisemplice se e solo se ogni sua rappresentazione � completamente riducibile, cio� se e solo se per ogni sottospazio invariante della rappresentazione c'� un complemento invariante (teorema di Weyl).

Un'algebra di Lie � semplice se tutti i suoi ideali sono non banali: in generale un'algebra di Lie semplice � semisemplice, e pi� in generale, le algebre di Lie semplici sono le somme dirette di quelle semplici.

Le algebre di Lie complesse semisemplici sono classificate attraverso i loro sistemi radice.