Spazio vettoriale

Una specie di strutture algebriche di grande importanza è costituita dagli spazi vettoriali (chiamati anche spazi lineari). Queste strutture sono generalizzazioni dell'insieme formato da tutti i vettori del piano cartesiano ordinario o dello spazio tridimensionale dotato di un'origine (l'ambiente nel quale si studiano i fenomeni della fisica classica, quella sviluppata da Galileo, Newton, Laplace, Maxwell, ...). Si incontrano spazi vettoriali in numerosi capitoli della matematica moderna e nelle sue applicazioni: essi basicamente servono per studiare le soluzioni dei sistemi di equazioni lineari e le soluzioni delle equazioni differenziali lineari; con queste equazioni si trattano moltissime situazioni; quindi si incontrano spazi vettoriali nella statistica, nella scienza delle costruzioni, nella meccanica quantistica, nella chimica delle molecole, ... .

Table of contents

1 Definizione formale 1.1 Terminologia 2 Esempi

Definizione formale

La definizione di uno spazio vettoriale richiede di servirsi di un campo: sono interessanti soprattutto il campo dei numeri reali e quello dei complessi); di notevole interesse sono anche i campi finiti, come il campo delle classi di resti modulo p, con p numero primo. Qui denotiamo con F un generico campo.

Un insieme V è uno spazio vettoriale sul campo F, se in esso possono essere definite un'operazione di addizione vettoriale, denotata con +, e un'operazione di moltiplicazione scalare, denotata con *, per le quali valgano le seguenti 10 proprietà:

1. ∀ u,v ∈ V, u + v ∈ V
   Chiusura di V rispetto all'addizione vettoriale.
2. ∀ u,v ∈ V, u + v = v + u
   Commutatività dell'addizione vettoriale.
3. ∀ u,v,w ∈ V, u + (v + w) = (u + v) + w
   Associatività dell'addizione vettoriale.
4. ∃ 0 ∈ V : ∀ v ∈ V, v + 0 = v
   Esistenza dell'elemento neutro rispetto all'addizione vettoriale.
5. ∀ v ∈ V, ∃ -v ∈ V : v + (-v) = 0
   Esistenza dell'elemento inverso, per ogni elemento in V, rispetto all'addizione vettoriale.
6. ∀ a ∈ F, ∀ v ∈ V, a * v ∈ V
   Chiusura di V rispetto alla moltiplicazione scalare.
7. ∀ a,b ∈ F, ∀ v ∈ V, a * (b * v) = (a · b) * v
   Associatività della moltiplicazione scalare.
8. ∃ 1 ∈ F : ∀ v ∈ V, 1 * v = v
   Neutralità di 1 rispetto alla moltiplicazione scalare.
9. ∀ a ∈ F, ∀ u,v ∈ V, a * (u + v) = a * u + a * v
   Distributività della moltiplicazione scalare rispetto all'addizione vettoriale.
10. ∀ a,b ∈ F, ∀ v ∈ V, (a + b) * v = a * v + b * v
    Distributività della moltiplicazione scalare rispetto all'addizione definita nel campo.

Le proprietà che vanno da 1 a 5 indicano che (V,+), V con l'operazione di addizione vettoriale, è un gruppo abeliano. Le altre, da 6 a 10, valgono per la moltiplicazione scalare tra un vettore v ∈ V e uno scalare a ∈ F.

Da queste proprietà, possono essere immediatamente dimostrate le seguenti formule:
∀ a ∈ F, ∀ v ∈ V,

a * 0 = 0 * v = 0

-(a * v) = (-a) * v = a * (-v)

Gli elementi di uno spazio vettoriale sono chiamati vettori. Il concetto di spazio vettoriale è astratto, così come lo sono i concetti di gruppo, anello e campo.

Terminologia

• Uno spazio vettoriale su R, l'insieme dei numeri reali, è chiamato spazio vettoriale reale.
• Uno spazio vettoriale su C, l'insieme dei numeri complessi, è chiamato spazio vettoriale complesso.
• Uno spazio vettoriale in cui è definita una norma è chiamato spazio vettoriale normato. L'importanza degli spazi vettoriali normati dipende dal fatto che a partire dalla norma dei singoli vettori si definisce la distanza fra due vettori come norma della loro differenza e questa nozione consente di definire costruzioni topologiche e metriche.
• Altri importanti spazi vettoriali sono gli spazi di Hilbert e gli spazi di Sobolev

Esempi

Siano m ed n interi positivi.

• Esempio 1: L'insieme dei vettori di certo ordine n (intero positivo) su R, ovvero Rⁿ, con le operazioni di somma tra vettori e prodotti di uno scalare per un vettore.

• Esempio 2: L'insieme delle matrici m×n su R, ovvero R^m×n, con le operazioni di somma tra matrici e prodotto di uno scalare per una matrice.

• Esempio 3: A partire da un campo generico F, si individuano gli spazi vettoriali Fⁿ e F^m×n.

• Esempio 4: Un campo generico F può considerarsi uno spazio vettoriale su se stesso: si tratta di Fⁿ per n=1.

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