Matrice (matematica)
Per gli altri significati di matrice, vedere la pagina Matrice (disambigua)
La nozione di matrice si incontra spesso nella matematica e in tutte le sue applicazioni, (statistica, fisica, chimica, elettrotecnica, ingegneria delle strutture, economia, scienze gestionali, sociologia, biologia molecolare, scienze naturali, ...). Le matrici hanno grande importanza nella pratica computazionale (v. analisi numerica) e sono prese in precisa considerazione da tutti i linguaggi di programmazione procedurali, da quelli di livello medio-basso a partire dal Fortran, a quelli di livello medio come Matlab, ai linguaggi per le elaborazioni simboliche come Mathematica e Maple.
Sono studiate matrici di tanti tipi: dalle matrici numeriche formate da numeri reali o complessi, alle matrici formate da entità meno usuali come classi di resti, funzioni, linguaggi, insiemi, altre matrici; dalle matrici finite a quelle costituite da infine entità .
In questo articolo si trattano prevalentemente matrici numeriche finite a partire da una definizione semplice, non molto generale, ma di grande utilità . Diamo anche una definizione generale che consente di trattare anche matrici di tipi meno usuali ma molto importanti e che consente di dare unità a molte costruzioni matematiche.
Consideriamo due interi positivi m ed n. Per matrice numerica finita m × n si intende uno schieramento rettangolare di numeri associati a due indici ai,j con i = 1, 2, ..., m e j = 1, 2, ..., n. Per un valore fissato del primo indice i numeri ai,1, ai,2, ..., ai,n sono disposti orizzontalmente e costituiscono la cosiddetta riga i della matrice.
Per un valore fissato del secondo indice i numeri a1,j, a2,j, ..., am,j sono disposti verticalmente e costituiscono la cosiddetta colonna j della matrice.
L'intero positivo m è detto numero delle righe della matrice A,
mentre n è detto numero delle colonne di A; m e n sono chiamate anche le dimensioni di A.
Una matrice A con m righe e n colonne, cioè una matrice m×n, viene chiamata anche matrice di aspetto m ×n o
matrice di dominio {1,2,...,m} × {1,2,...,n}. Le matrici con m=n si dicono matrici quadrate.
Un esempio di matrice 4 ×3 è:
Una matrice come la precedente B si può considerare ottenuta mediante
sovrapposizione delle sue m=4 righe o come affiancamento delle sue n=3 colonne.
Il numero che si trova nella i-esima riga e nella j-esima colonna
è chiamato la i,j-entrata o entrata relativa alla casella (i,j);
il termine entrata traduce l'inglese entry.
Osserviamo che molto spesso i componenti di una matrice A vengono chiamati
elementi di A: l'uso del termine elemento però può portare a qualche
confusione ed è più semplice riservarlo alle entità che compongono gli insiemi:
due elementi di un insieme non possono essere uguali, mentre due entrate
di una matrice possono coincidere. Le caselle relative ai due indici uguali, cioè relative a coppie di indici uguali (i,i) costituiscono la diagonale principale della matrice.
L'insieme costituito dalle entrate di una matrice si chiama codominio
della matrice: il codominio della precedente B è {-2, 0, 1, 2, 3, 4.5, 6}.
L'entrata della casella (i,j) della matrice A nei testi di matematica
viene denotata Ai,j o anche A[i,j]; nell'esempio sopra, B2,3 = 7. Si usano spesso notazioni della forma A = (aij) per segnalare che A indica una matrice e che le sue entrate sono denotate aij per le varie coppie di valori che possono assumere gli indici i e j.
In alcuni linguaggi di programmazione come Fortran, Basic e Pascal viene scritto
Consideriamo tre insiemi R, C e V (non necessariamente diversi).
Si dice matrice con le righe etichettate da R, le colonne etichettate da C ed entrate in V ogni funzione del tipo
La prima definizione risulta comunque molto utile, proprio perchè intuitiva, in quanto essa consente di introdurre in modo semplice e preferibile per un lettore interessato alle applicazioni numerose nozioni e numerosi procedimenti costruttivi. Ad essa ci riferiamo prevalentemente nel resto di questo articolo.
Le applicazioni più basilari delle matrici riguardano le matrici delle adiacenze dei digrafi.
Le applicazioni più studiate e utilizzate riguardano invece le matrici numeriche finite che permettono di rappresentare gli operatori lineari, ovvero le trasformazioni lineari. Per ogni operatore lineare su uno spazio vettoriale di n dimensioni e per ogni base di tale spazio esiste una matrice n × n che lo rappresenta, e viceversa per ogni matrice quadrata n × n ed ogni base di uno spazio ad n dimensioni esiste un unico operatore lineare su tale spazio rappresentato dalla matrice.
Più in generale per una trasformazione lineare di uno spazio a n dimensioni in uno spazio a m dimensioni rappresentata dal seguente sistema di equazioni:
Un'altra classe di applicazioni delle matrice numeriche riguardano le campionature matriciali di funzioni di due variabili reali. Data una funzione f(x,y) definita in una regione che comprende il rettangolo [x0 , xm] × [y0 , yn], definiti a:=(xm-xm)/m e
b:=(yn-yn)/m,
si può considerare la griglia dei punti (xi,yj), con xi:=x0+i a per i=0, 1,...,m e
yj:=y0+j b per j=0, 1,...,n. Il complesso dei valori assunti dalla f in questi punti viene convenientemente organizzata nella matrice che ha come entrate i numeri f(xi,yj) con m+1 righe e n+1 colonne. Questa matrice fornisce una campionatura regolare finita della funzione
f che consente di trattarla con programmi numerici e grafici. Se la funzione nel dominio rettangolare è sufficientemente regolare e la griglia è abbastanza fitta, si possono avere buone indicazioni empiriche sul suo comportamento e buone visualizzazioni grafiche. Molti strumenti software (ad es. Matlab ed S) si servono dello schema qui introdotto per consentire di operare numericamente sulle funzioni di due variabili ed in particolare per ottenere loro presentazioni grafiche.
Analoghe campionature matriciali si possono ottenere per funzioni che descrivono fenomeni trattabili sperimentalmente (fisici, chimici, economici, ...) ed i cui valori si possono ottenere con misurazioni opportune (sensori, indagini, estrazione di dati da archivi, ...).
Sulle matrici si possono definire molte utili operazioni: in questo articolo introduttivo definiamo solo le più semplici.
Due matrici si dicono matrici simili se hanno lo stesso aspetto.
Consideriamo due matrici simili, entrambe di aspetto m × n; si definisce come loro
somma, e si scrive A + B, la matrice m ×n le cui entrate sono ottenute
sommando le entrate corrispondenti, cioè,
Una coppia (ordinata) di matrici (A,B) si dice coppia di matrici conformabili se il numero di colonne della A è lo stesso del numero delle righe della B.
La più usuale moltiplicazione di due matrici è ben definita solamente se costituiscono una coppia di matrici conformabili.
Supponiamo in particolare che A abbia aspetto m ×n (cioè che abbia m righe ed n colonne) e B abbia aspetto n ×p (n righe e p colonne); si definisce come loro prodotto la matrice che si indica AB ed ha aspetto m × p (m righe, p colonne) data da
Due matrici quadrate simili A e B si dicono anticommutative se AB = -BA.
Esse giocano un ruolo importante nelle rappresentazioni delle algebre di Lie e nelle
rappresentazioni delle algebre di Clifford
Per altre operazioni meno comuni vedi somma diretta (matrice) e moltiplicazione di matrice
Alcune categorie di matrici sono tanto importanti da meritare nomi speciali: un loro elenco esteso si trova nella pagina Glossario sulle matrici. Qui diamo solo alcuni esempi.
Una matrice partizionata o matrice a blocchi è una matrice di matrici. Per esempio, si consideri la matrice:
I concetti di matrice e determinante, estremamente importanti per l'algebra lineare, hanno ricevuto una prima piena formulazione dai matematici Sylvester e Cayley.
Vedi anche Teoria delle matrici
Vedi anche:
Prime definizioni
Una matrice con una sola riga, di aspetto 1 × n viene detta
matrice riga; una matrice con una sola colonna, di aspetto m × 1
viene detta matrice colonna. Evidentemente le matrici riga 1 × n
hanno lo stesso contenuto delle sequenze di n componenti e le matrici colonna
1 × n hanno lo stesso contenuto delle sequenze di m componenti;
come vedremo conviene distinguere le matrici riga e le matrici colonna
quando si definiscono su di esse determinate operazioni.A(i,j), mentre in linguaggi come C e Java viene scritto A[i][j]; occorre dire anche che in questi ultimi linguaggi gli indici delle matrici, come gli indici di ogni altro array, corrono da 0 ad m-1 o da 0 a n-1.
Per la memorizzazione delle matrici si usano due modalità diverse, a seconda che si faccia correre primariamente l'indice delle righe o quello delle colonne. Nel primo modo la matrice è memorizzata con le entrate di ciascuna riga contigue, nel secondo sono contigue le entrate di ciascuna colonna.Definizione generale di matrice
Tale matrice si dice quadrata se R=C.
Questa definizione si riduce alla elementare nel caso, molto particolare, in cui R e C sono risp. gli insiemi {1, 2, ..., m} e {1, 2, ..., n} e V è l'insieme dei numeri reali o dei numeri complessi.
La definizione generale giustifica i termini di dominio e codominio di una matrice
precedentemente introdotti. Essa si serve solo di nozioni insiemistiche e non ricorre a nozioni visive e intuitive come quella di schieramento rettangolare. Sul piano della portata la definizione generale consente di trattare matrici di grande utilità come molte matrici finite le cui righe e colonne sono etichettate
da indici interi che corrono da 0 in su come quelle che si possono elaborare con programmi C o Java, matrici con linee etichettate da più indici numerici come quelle che si incontrano nella meccanica quantistica o nelle chimica molecolare, matrici con righe e colonne etichettate da numeri interi senza limiti come
quelle che permettono di rappresentare successioni polinomiali
o serie formali a due variabili o addirittura funzioni di due variabili
reali o complesse.
Una estrema generalità però non è molto utile: come vedremo è importante definire somme, prodotti e altre operazioni sulle matrici: quindi è opportuno che il codominio di una matrice sia un anello o anche un semianello (le matrici contenenti insiemi di stringhe sono utili allo studio degli automi). Per definire certe operazioni sulle matrici non finite si possono porre questioni di convergenza.Applicazioni delle matrici numeriche
si può sostituire l'equazione matriciale:
Si tratta di una formulazione equivalente, ma che apre la strada a formulazioni e descrizioni più concise. Operazioni fra matrici
Per esempio
Data una matrice A e un numero c, definiamo '''moltiplicazione
scalare' di c per A'':
Per esempio:
Combinando le operazioni di somma e moltiplicazione pe uno scalare
si possono effettuare anche combinazioni lineari di matrici simili.
A questo punto conviene indicare Mat(m, n, F) l'insieme delle matrici m × per n con entrate nel campo F (che potrebbe essere l'insieme
dei reali R o l'insieme dei complessi C).
Con le due precedenti operazioni questo insieme si comporta come uno spazio vettoriale
(sui reali o sui complessi) di dimensione mn.
Per esempio
Somma e moltiplicazione hanno le seguenti proprietà :
E' importante osservare che in generale non si ha la commutatività : se due matrici A e B possono fornire due prodotti confrontabili, cioè se sono entrambe quadrate
e simili, allora in generale AB ≠ BA.Classi di matrici reali e complesse
Partizionamento di matrici
Possiamo partizionarla in una matrice di aspetto 2×2 servendoci delle seguenti sottomatrici:
ottenendo
Queste riscritture spesso consentono di controllare meglio le elaborazioni
di matrici con determinate caratteristiche generali (forma normale di Jordan)
o relative ad applicazioni particolari (in particolare le matrici che si incontrano in
applicazioni dell'elettronica come quelle relative alla
progettazione dei chips in tecnologia VLSI.Storia
