Octonioni
In matematica, gli octonioni sono un estensione non-associative dei quaternioni.
Table of contents |
2 Operazioni algebriche 3 Proprietà 4 Vedi anche 5 Link esterni |
Storia
Sono stati scoperti da John T. Graves nel 1843, e indipendentemente da Arthur Cayley,che pubblico il primo lavoro su essi nel 1845. Spesso ci si riferisce a essi come hai numeri di Cayley o all'algebra di Cayley.
Operazioni algebriche
Gli octonioni formano una struttura a 8 dimensioni (non-associativa) formata da numeri reali, e si può quindi pensare come ad un ottetto (o a 8-tuple) di numeri reali. Ogni octonione � una combinazione lineare di unità octonionali 1, e1, e2, e3, e4, e5, e6 e e7.
Sommare degli octonioni vuol dire sommare i relativi coefficienti, come nei numeri complessi o nei quaternioni. La moltiplicazione lineare degli octonioni � definita dalla matrice di moltiplicazione delle unità degli octonioni, la tabella � sotto elencata.
· | 1 | e1 | e2 | e3 | e4 | e5 | e6 | e7 |
1 | 1 | e1 | e2 | e3 | e4 | e5 | e6 | e7 |
e1 | e1 | −1 | e4 | e7 | −e2 | e6 | −e5 | −e3 |
e2 | e2 | −e4 | −1 | e5 | e1 | −e3 | e7 | −e6 |
e3 | e3 | −e7 | −e5 | −1 | e6 | e2 | −e4 | e1 |
e4 | e4 | e2 | −e1 | −e6 | −1 | e7 | e3 | −e5 |
e5 | e5 | −e6 | e3 | −e2 | −e7 | −1 | e1 | e4 |
e6 | e6 | e5 | −e7 | e4 | −e3 | −e1 | −1 | e2 |
e7 | e7 | e3 | e6 | −e1 | e5 | −e4 | −e2 | −1 |
Proprietà
Gli octonioni sono l'unica algebra a dimensione-finita non-associativa definibile con i numeri reali. Le uniche algebre a dimesione finita associative sono quelle prodotte dai numeri reali, dai numeri complessi e dai quaternioni.
Il grouppo degli automorfismi (simmetrici) degli octonioni � chiamato G2.
Vedi anche
- Sedenioni
- Numeri ipercomplessi
- Costruzione di Cayley-Dickson
- PSL(2,7)
Link esterni
- The Octonions - un articolo di John C. Baez
- Octonion Fractals - frattali generati usando gli octonioni