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Octonioni

In matematica, gli octonioni sono un estensione non-associative dei quaternioni.

Table of contents
1 Storia
2 Operazioni algebriche
3 Proprietà
4 Vedi anche
5 Link esterni

Storia

Sono stati scoperti da John T. Graves nel 1843, e indipendentemente da Arthur Cayley,che pubblico il primo lavoro su essi nel 1845. Spesso ci si riferisce a essi come hai numeri di Cayley o all'algebra di Cayley.

Operazioni algebriche

Gli octonioni formano una struttura a 8 dimensioni (non-associativa) formata da numeri reali, e si può quindi pensare come ad un ottetto (o a 8-tuple) di numeri reali. Ogni octonione una combinazione lineare di unità octonionali 1, e1, e2, e3, e4, e5, e6 e e7.

Sommare degli octonioni vuol dire sommare i relativi coefficienti, come nei numeri complessi o nei quaternioni. La moltiplicazione lineare degli octonioni definita dalla matrice di moltiplicazione delle unità degli octonioni, la tabella sotto elencata.

· 1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7
1 1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7
e1 e1 −1 e4 e7 −e2 e6 −e5 −e3
e2 e2 −e4 −1 e5 e1 −e3 e7 −e6
e3 e3 −e7 −e5 −1 e6 e2 −e4 e1
e4 e4 e2 −e1 −e6 −1 e7 e3 −e5
e5 e5 −e6 e3 −e2 −e7 −1 e1 e4
e6 e6 e5 −e7 e4 −e3 −e1 −1 e2
e7 e7 e3 e6 −e1 e5 −e4 −e2 −1

Proprietà

I octonions sono l'unica alternativa ma algebra limitato-dimensionale non associativa di divisione sopra i reals. Le uniche algebre associative limitato-dimensionali di divisione sopra i reals sono i numeri reali, i numeri complessi ed i quaternions. Il gruppo degli automorfismi (simmetria) dei octonions denominato G2. Veda inoltre

Gli octonioni sono l'unica algebra a dimensione-finita non-associativa definibile con i numeri reali. Le uniche algebre a dimesione finita associative sono quelle prodotte dai numeri reali, dai numeri complessi e dai quaternioni.

Il grouppo degli automorfismi (simmetrici) degli octonioni chiamato G2.

Vedi anche

Link esterni


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