Numeri di Bernoulli

In matematica, i numeri di Bernoulli B_n furono inizialmente scoperti in relazione con le forme chiuse per le somme di potenze di interi successivi

per vari valori fissati di n. Le precedenti somme sono esprimibili per ogni n come polinomi in m di grado n+1 e sono chiamate polinomi di Bernoulli . Lo schieramento bidimensionale dei coefficienti dei polinomi di Bernoulli è esprimibile mediante lo schieramento monodimensionale dei numeri di Bernoulli, come segue:

Per esempio consideriamo n = 1: abbiamo 0 + 1 + 2 + ... + (m−1) = 1/2 (B₀ m² + 2 B₁ m¹) = 1/2 (m² − m).

I numeri di Bernoulli furono studiati inizialmente da Jakob Bernoulli e successivamente ricevettero il loro nome da Abraham de Moivre.

I numeri di Bernoulli possono essere calcolati usando la seguente formula di ricorrenza:

I numeri di Bernoulli possono anche essere definiti usando una funzione generatrice. Si assume che la loro funzione generatrice esponenziale sia x/(e^x − 1), in modo che:

per ogni valore di x con valore assoluto minore di 2π (il raggio di convergenza della precedente serie di potenze).

Qualche volta si denotano i numeri di Bernoulli con b_n al fine di distinguerli dai numeri di Bell.

I primi 15 numeri di Bernoulli (sequenze A027641 e A027642 del sito enciclopedico OEIS) sono elencati qui sotto.

n	Bn
0	1
1	−1/2
2	1/6
3	0
4	−1/30
5	0
6	1/42
7	0
8	−1/30
9	0
10	5/66
11	0
12	−691/2730
13	0
14	7/6

Si può dimostrare che B_n = 0 per tutti gli n dispari maggiori di 1. La differenza tra il valore particolare B₁₂ = −691/2730 e le altre semplici frazioni che danno i numeri vicini inducono ad escludere la possibilità di una semplice forma chiusa per i numeri di Bernoulli.

I numeri di Bernoulli compaiono anche negli sviluppi in serie di Taylor della tangente e della tangente iperbolica, nella formula di Euler-Maclaurin e nelle espressioni di certi valori della funzione zeta di Riemann.

Nella nota G delle Note di Ada Byron sull'analytical engine del 1842 è stato descritto per la prima volta un algoritmo per la costruzione dei numeri di Bernoulli con una macchina in grado di eseguire calcoli automatici.

Links esterni

• The first 498 Bernoulli numbers from Project Gutenberg

---

|