Spazio proiettivo
Lo
spazio proiettivo nasce come un completamento dello spazio affine, in particolare per aggirare alcuni problemi concernenti il parallelismo e per semplificare calcoli e concetti. Ad esempio, nello spazio affine la dimensione di una sottovarietĆ somma di altre due non č definibile, visto che essa cambia se le due sottovarietĆ iniziali sono sghembe, parallele, incidenti. Nello spazio proiettivo, invece, vale la
formula di Grassmann, analogamente agli
spazi vettoriali.
Definizione: Dato V spazio vettoriale su un corpo C, lo spazio proiettivo P(V) su V č l'insieme dei sottospazi vettoriali W
Esso č, intuitivamente, la sezione di uno spazio di dimensione n+1 da parte di un iperpiano di dimensione n.
Indicheremo con sW l'elemento di P(V) corrispondente a W.
Essendo un punto di uno spazio proiettivo P=sW la rappresentazione di uno spazio vettoriale di dimensione 1, esso puĆ² essere descritto da uno qualunque dei vettori appartenenti a tale spazio; praticamente, esso č definito a meno di una costante, ovvero, se P=sw allora P=saw ove w č un vettore e a uno scalare; ad esempio, (1,2,4)=(2,4,8). CiĆ² significa che ogni elemento di P(V) puĆ² essere indicato nella forma (1,x1,...,xn), a parte un iperpiano proiettivo che puĆ² essere scritto solo nella forma (0,x1,...xn). Questo iperpiano č detto iperpiano improprio e rappresenta i vettori (le direzioni delle rette) dello spazio. CosƬ costruito, lo spazio proiettivo č in grado di gestire allo stesso modo punti (1,x1,...,xn) e vettori (0,x1,...,xn) senza doverli trattare come enti distinti.
Nello spazio proiettivo č possibile definire una applicazione duale che permette di rendere pił semplici molti concetti.
Tramite l'utilizzo di proiettivitĆ e applicazioni bilineari lo spazio proiettivo diviene l'ambiente ideale per lo studio delle coniche e delle quadriche.
