Costante di Boltzmann

La costante di Boltzmann, k_B, fu introdotta da Planck, che la chiamò così in onore di Ludwig Boltzmann. È una grandezza che si incontra spessissimo in meccanica statistica ed è relazionata ad altre due costanti di grande importanza quali la costante universale dei gas, R, e il numero di Avogadro, N_A, dalla seguente espressione:

Quindi le unità di misura con cui viene espressa nel sistema internazionale sono i J/K, le stesse unità dell'entropia e della capacità termica. Il valore raccomandato dal CODATA nel 2002 è

il valore riportato tra parentesi sta a indicare la deviazione standard.

Val la pena segnalare due casi in cui compare questa costante, nel primo si mostra come permetta di relazionare l'energia con la temperatura, mentre nel secondo ci si limita a segnalare la definizione statistica di entropia.

Il teorema di equipartizione dell'energia afferma che se i gradi di libertà di una molecola (per molecola si intende un generico sistema microscopico) sono f, allora in un sistema macroscopico costituito da tali molecole, in condizioni di equilibrio alla temperatura T, l'energia media delle molecole è data da

Per esempio in un gas atomico alla temperatura T, l'energia media degli atomi è

poiché in quel caso gli unici gradi di libertà saranno i tre traslazionali. Questa stessa espressione può essere ricavata dalla teoria cinetica dei gas.
Si nota quindi che la costante di Boltzmann è la costante di proporzionalità tra la temperatura e l'energia media di una molecola. Questo teorema è valido solo nei casi in cui non vi è quantizzazione dell'energia o in quelli in cui è trascurabile, cioè quando la separazione dei livelli energetici è notevolmente inferiore a kT.

In meccanica statistica l'entropia viene definita come il logaritmo naturale di Ω, il numero di microstati coerenti con le condizioni al contorno del sistema:

La costante di proporzionalità è ancora k. Questa equazione, che relaziona i dettagli microscopici del sistema con il suo stato macroscopico, è l'idea centrale della meccanica statistica.
Fu proprio Ludwig Boltzmann a proporla e oggi compare sulla sua tomba come epitaffio.

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