Matrice ortogonale

In matematica una matrice ortogonale è una matrice quadrata G la cui trasposta coincide con la sua inversa, cioè,

Si possono considerare matrici ortogonali con entrate da ogni campo, ma il caso più comune è quello di matrici con entrate reali, e solamente questo caso sarà preso in considerazione nel resto dell'articolo.

Una matrice quadrata reale è ortogonale se e solo se le sue colonne formano una base ortonormale di Rⁿ per l'ordinario prodotto scalare. In effetti l'enunciato precedente non è che la rilettura della G G^T = I_n. Leggendo similmente la G^T G = I_n si ricava l'enunciato duale del precedente:
una matrice quadrata reale è ortogonale se e solo se le sue righe formano una base ortonormale di Rⁿ per l'ordinario prodotto scalare.

Geometricamente, le matrici ortogonali descrivono le trasformazioni lineari di Rⁿ che preservano angoli e lunghezze, come le rotazioni e le riflessioni.

Esse lasciano invariato il prodotto interno euclideo; infatti se G è ortogonale e x e y sono vettori in Rⁿ, allora

Viceversa, se V è un qualsiasi spazio a prodotto interno finito-dimensionale reale e f : V → V ë un' applicazione lineare con

per tutti gli elementi x, y di V, allora f è rappresentata in ogni base ortonormale di V da una matrice ortogonale.

Dalla definizione segue subito che l'inversa di ogni matrice ortogonale, cioè la sua trasposta, è anch'essa ortogonale.

Si vede facilmente che anche la matrice prodotto di due matrici ortogonali G e H è ortogonale: infatti

Questo dimostra che l'insieme delle matrici ortogonali n×n forma un gruppo. Questo è un gruppo di Lie chiamato gruppo ortogonale e indicato con O(n). Le sue dimensioni sono n(n − 1)/2: infatti le n² entrate di una matrice ortogonale sono vincolate dalle n² uguaglianze della definizione ciascuna delle quali è caratterizzata da una coppia di indici (i,j) che vanno da 1 a n; ma l'equazione relativa a (i,j) con i < j equivale a quella relativa a (j,i) e quindi si hanno soli n(n + 1)/2 vincoli ovvero n(n − 1)/2 gradi di libertà.

Il determinante di ogni matrice ortogonale è 1 o −1. Questo si può dimostrare come segue:

In tre dimesioni, le matrici ortogonali con determinante 1 corrispondono alle rotazioni proprie e quelle con determinante −1 a rotazioni improprie, trasformazioni esprimibili come composizioni di una rotazione e una riflessione.

L'insieme di tutte le matrici ortogonali dove il determinante è 1 è un sottogruppo di O(n) di indice 2, chiamato gruppo ortogonale speciale e denotato SO(n).

Tutti gli autovalori di una matrice ortogonale, anche i complessi hanno valore assoluto 1. Autovettori relativi a differenti autovalori sono ortogonali.

Se Q è ortogonale, allora si può sempre trovare una matrice ortogonale P tale che

dove R₁,...,R_k denotano matrici di rotazione 2 × 2. Intuitivamente, questo risultato significa che ogni matrice ortogonale descrive una combinazione di rotazioni e riflessioni.

Le matrici R₁,...,R_k corrispondono all' autovalore non reale di Q.

Se A è una arbitraria matrice di aspetto m × n di rango n (m ≥ n), possiamo sempre scrivere

dove Q è una matrice ortogonale di aspetto m × m e R è una triangolare superiore di aspetto n × n con entrate sulla diagonale principale positive. Questa è conosciuta come decomposizione QR di A e può essere dimostrata applicando il processo di Gram-Schmidt alle colonne di A. La suddetta decomposizione risulta utile per risolvere numericamente i sistemi di equazioni lineari e i problemi di minimi quadrati.

L'analogo complesso delle matrici ortogonali sono le matrici unitarie.

Matrici ortogonali e rappresentazione delle algebre di Clifford

Alle matrici ortogonali si può attribuire un secondo significato geometrico che si collega alle rappresentazione matriciale delle algebre di Clifford. Qui lo introduciamo in modo semplice attraverso un semplice esempio. Per maggiori dettagli v. Rappresentazione delle algebre di Clifford.

I vettori di base canonici di R² sono e₁ = [1 0] e e₂ =[0 1] e per un generico vettore di questo piano cartesiano scriviamo

[x y]= x·[1 0] + y·[0 1]

La matrice ortogonale

rappresenta la riflessione rispetto alla bisettrice y=x, poichè scambia le due componenti di ogni vettore piano:

La matrice ortogonale

rappresenta invece la riflessione rispetto all'asse x, poichè il punto [x y] ha come immagine [x,−y].

Per i due prodotti di queste matrici si trova

Si tratta delle due rotazioni nel piano di π/2 e di −π/2, rotazioni opposte: quindi le due matrici ''E_i anticommutano. In formule:

Consideriamo ora E₁ ed E₂ come vettori di base del piano bidimensionale delle loro combinazioni lineari

Consideriamo anche la seguente composizione di due di queste entità MV (matriciali e vettoriali) A e B:

In dettaglio si trova

Per il quadrato di una di queste entità MV in particolare

Si può quindi definire come prodotto interno di A e B la precedente composizione, a meno della matrice unità I₂. Questo è lecito in quanto chiaramente si tratta di una forma bilineare simmetrica positiva. Il prodotto interno di una entità MV con se stessa fornisce il quadrato della sua norma.

Dato che le entità base anticommutano vediamo che

Le entità E₁ ed E₂ sono ortogonali secondo entrambe le loro interpretazioni:

1. Sono matrici ortogonali
2. Rappresentano vettori di base ortogonali in quanto matrici anticommutative.

Vedi anche

• Glossario sulle matrici

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