Curtosi

L'indice di curtosi, usato in statistica, è uno degli indici relativi alla forma di una distribuzione, in quanto la "larghezza" di una distribuzione influenza il comportamento di diverse statistiche.

Il coefficiente di curtosi misura il "grado di appiattimento" di una distribuzione rispetto alla curva normale. Benché sia stato evidenziato che non c'è una relazione tra il grado di appiattimento e i coefficiente e indice di curtosi, (Irving Kaplansky, nel 1945 in "A common error concerning Kurtosis") è rimasto in uso tale terminologia.

Il coefficiente di curtosi è dato dalla formula:

γ₂ = β₂ - 3

ove

β₂ = m₄ / (m₂)²

è l'indice di curtosi, essendo m₄ e m₂ rispettivamente il momento centrale di ordine 4 e 2.

Se il coefficiente di curtosi è

• maggiore di 0 la curva si definisce leptocurtica, cioè più "appuntita" di una normale.
• minore di 0 la curva si definisce platicurtica, cioè più "piatta" di una normale.
• uguale a 0 la curva si definisce normocurtica, cioè "piatta" come una normale.

In una curva normale il coefficiente di curtosi è, ovviamente, pari a 0.

Il calcolo del coefficiente di curtosi ha senso solo nelle distribuzioni unimodali.

Siccome β₂ e γ₂ vengono calcolate facendo lo scarto dalla media alla quarta potenza, valori equidistanti dalla media (simmetrici rispetto la media) contribuiscono con lo stesso importo e valori distanti dalla media sono molto più "importanti" di quelli prossimi alla media, cosicché distribuzioni "larghe" producono β₂ e γ₂ elevati.

Essendo β₂ un numero puro (il denominatore e il numeratore hanno la stessa unità di misura), moltiplicare i valori della distribuzione con una costante non ha effetti sull'indicatore. Così come non ha effetti lo spostamento dell'intera curva, in quanto sia il numeratore che il denominatore fanno rifermento alla media della distribuzione.

In altre parole ;se: la v.c. X ha un indicatore di curtosi pari a β₂ e Y = a + bX ;allora: Y è anch'essa una v.c. che assume un indicatore di curtosi anche lui pari a β₂

La curtosi, come pure la simmetria, calcolate su campioni piccoli non sono buoni stimatori dell'equivalente parametro della popolazione. Ciò nonostante, anche in presenza di piccoli campioni, valori elevati di tali indicatori devono far insorgere nel ricercatore il dubbio che le eventuali ipotesi di normalità non sono verificate.

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Vedi anche:

• Funzione generatrice dei momenti
• simmetria
• varianza
• media
• Irving Kaplansky, che evidenziò l'assenza di relazione tra il concetto di "grado di appiattimento" e gli indici di curtosi e di simmetria

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