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Variabile casuale

In statistica i termini "aleatorio", "casuale", "stocastico" sono aggettivi che si associano agli enti ottenuti come risultati di una prova.

Una variabile casuale (o variabile aleatoria o variabile stocastica) una funzione "misurabile" dallo spazio campionario allo spazio euclideo.

Secondo la definizione di Lindgren (1976): una funzione X definita sui punti dello spazio campionario ω si dice misurabile rispetto al campo di Borel ß se e solo se l'evento {ω| X(ω)<=λ} appartiene a ß per ogni λ.

  • Le variabili casuali a una dimensione si dicono semplici.
  • Le variabili casuali a pi dimensioni si dicono multiple (doppie, triple, k-uple).

Le funzioni che rappresentano le variabile casuali devono avere le seguenti caratteristiche:
  • se discrete: Σv.c. = 1 e la funzione v.c. non deve mai assumere valori negativi
  • se continua: ∫v.c.(x)dx =1

Variabili casuali che dipendono da un parametro t vengono considerati dei processi stocastici.

Alcune variabili casuali utilizzate in statistica


Teoremi


;Se:X1, X2, ... , Xn sono
v.c. Bernoulliane uguali e indipendenti ;allora:X = X1 + X2 +...+ Xn, una v.c. Binomiale B(n;p)
;Se: X una variabile casuale Binomiale B(n;p) con n molto grande (orientativamente n>50) e p molto piccolo, tale che n p , orientativamente, minore di 10 e p(1-p) quasi uguale a p, ;allora: la binomiale può essere approssimata con una variabile casuale Poissoniana ove λ = n p.
;Se: Se: X una variabile casuale Binomiale B(n;p) con n molto grande, ma np>10 (e dunque non vale l'approssimazione con la v.c. poissoniana), ;allora: la binomiale può essere approssimata con una variabile casuale Normale con valore atteso pari a np e varianza uguale a npq: N( np ; npq).
;Se: X e Y sono due variabili casuali indipendenti, distribuite come una v.c. poissoniana con parametro rispettivamente λx e λy ;allora: Z=X+Y a sua volta una v.c. Poissoniana con parametro λz = λxy
;Se:X una variabile casuale Beta con p=q=1 ;allora: si tratta di una v.c. rettangolare con i parametri a e b
;Se:X e Y sono due v.c. Gamma in senso stretto (a=1) con il parametro p uguale ripettivamente a n e m ;allora: Z=X/Y distribuita come una v.c. Beta con i parametri p=n e q=m
;Se: X e Y sono due v.c. identiche e indipendenti distribuite come una variabile casuale Esponenziale Negativa con parametro a ;allora:Z=X+Y una v.c. Gamma con parametri a e p=2
La v.c. Esponenziale Negativa viene usata in relazione alla v.c. Poissoniana in quanto: ;se: il numero di successi entro un predeterminato intervallo di tempo distribuito come una Poissoniana (con parametro λ), ;allora: l'intervallo di tempo che passa tra due successi distribuito come una Esponenziale Negativa con a=λ e viceversa.
;Se:X1, X2, ..., Xn sono n v.c. χ² tra di loro indipendenti, ciascuna con gi gradi di libertà, ;allora: la v.c. Y = X1 + X2 + ... + Xn a sua volta una v.c. χ² con g gradi di libertà, ove g = g1 + g2 + ... + gn
;Se:Z una v.c. Normale standardizzata N(0,1), e X=Z² ;allora: X una v.c. χ² con 1 grado di libertà.
Considerato un campione di n elementi estratto da una popolazione normale Z(μ;σ²) indicando con S² la distribuzione della varianza campionaria sarà:

(n S²/σ² ) ~ χ²n-1


;Se:X una v.c. t di Student e g → +∞ ;allora: X tende ad una v.c. Normale standardizzata (μ=0 e σ²=1)
;Se: Z~N(0;1) e X~χ²g, ;allora: T=Z/√X/g distribuita come una v.c. t di Student con g gradi di libertà.
;Se: X una v.c. t di Student con g=1 ;allora: si ottiene la v.c. di Cauchy.
variabile casuale F di Snedecor: ;Se: il secondo grado di libertà molto grande, ;allora: la F di Snedecor tende verso una v.c. Gamma con a=p=g/2

;Se: entrambi i gradi di libertà sono molto grandi, ;allora: si può usare la Normale

;Se: il primo grado di libertà pari ad uno, ;allora: si può usare la v.c. t di Student


;Se:Xg1 e Xg2 sono v.c. Chi Quadrato con ripsettivamente g1 e g2 gradi di libertà ;allora: Y = [Xg1/g1] / [Xg2/g2] distribuita come una variabile casuale F di Snedecor con g1 e g2 gradi di liberta;
;Se: in un processo markoviano (continuo nel tempo) nascite-morti, con le condizioni iniziali Pn(0)=1 per n=0, e =0 altrimenti, si osserva un processo di pure nascite con tasso costante λ ;allora: si ottiene la soluzione Pn(t)=e-λt (λt)k/k!, ovvero una variabile casuale Poissoniana con parametro λt


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