Variabile casuale Gamma

La variabile casuale Gamma o variabile casuale Erlanghiana è una variabile casuale continua che viene definita da due parametri (indicati qui di seguito a e p). Per taluni la v.c. Gamma in senso stretto si riferisce al caso in cui a=1, mentre negli altri casi dovrebbe chiamarsi v.c. Erlanghiana.

Viene usata nell'ambito della teoria delle file d'attesa e delle telecomunicazioni, mentre in statistica viene usata per via di alcuni suoi casi particolari.

La funzione di densità di probabilità è

f(x) = a^p Γ(p)^-1 e^-ax x^p-1 ( 0 < x < +∞ , a > 0 , p > 0)

dove la Γ() è la funzione Gamma.

La funzione generatrice dei momenti è

g(t) = [ a / (a-t) ]^p

percui ;media: μ = p/a ;varianza: σ² = p/a² ;simmetria: β₁ = 4/p ;curtosi: β₂ = 3 + 6/p ;moda: ν₀=(p-1)/a per p≥2 Si ricava che se p→+∞, allora β₁ tende a zero e β₁ tende a 3 (come la v.c. Normale), infatti per p→+∞ la v.c. Gamma tende ad una Normale N( p/a , p/a² ).

Alcuni casi particolari:

• Se a=1/2 e p=g/2 allora siamo nel caso della Chi Quadrato.
• Se p=1, allora siamo nel caso della variabile casuale Esponenziale Negativa

Un'altra delle caratteristiche è che se a=1 e p-1=k intero, allora la funzione di densità di probabilità diventa

f(x) = e^-xx^k/k!

che è la Bayesiana della v.c.Poissoniana

Teoremi

;Se:X e Y sono due v.c. Gamma in senso stretto (a=1) con il parametro p uguale ripettivamente a n e m ;allora: Z=X/Y è distribuita come una v.c. Beta con i parametri p=n e q=m

---

Vedi anche:

• v.c. Esponenziale Negativa e Chi Quadrato: casi particolari della Gamma
• v.c. F di Snedecor (che tende ad una v.c. Gamma se il secondo grado di libertà è molto grande
• v.c. Beta
• statistica, variabile casuale, probabilità

---

|