Variabile casuale Esponenziale Negativa

La variabile casuale Esponenziale Negativa � un caso particolare della v.c. Gamma con il parametro p=1. Rimane l'altro parametro a ad identificare la Esponenziale Negativa.

Table of contents

1 Caratteristiche
2 Teoremi
3 Esempio fittizio
4 Articoli correlati

Caratteristiche

La funzione di densità e la funzione di ripartizione sono:

f(x) = a e^-ax , ove x ≥ 0

F(x) = 1 - e^-ax

Si ottiene che la funzione generatrice dei momenti �:

g(t) = a/(a-t)

permettendo così di ottenere agevolmente

;media: μ = 1/a ;varianza: σ² = 1/a² ;simmetria: β₁=4 (fortemente asimmetrica) ;curtosi: β₁=9 (leptocurtosi)

Teoremi

;Se: X e Y sono due v.c. identiche e indipendenti distribuite come una Esponenziale Negativa con parametro a ;allora:Z=X+Y � una v.c. Gamma con parametri a e p=2

La v.c. Esponenziale Negativa viene usata in relazione alla v.c. Poissoniana in quanto: ;se: il numero di successi entro un predeterminato intervallo di tempo � distribuito come una Poissoniana (con parametro λ), ;allora: l'intervallo di tempo che passa tra due successi � distribuito come una Esponenziale Negativa con a=λ e viceversa.

Esempio fittizio

NB: Questo esempio � ripreso in quello portato per la v.c. Geometrica

In una provincia con 50mila donne in età fertile, nascono 1000 bambini all'anno. Ci si deve aspettare che mediamente in un comune con 5mila donne in età fertile nascano annualmente 100 bambini (a volte di pi�, a volte di meno). Pertanto ci si aspetta che nascano 100/365=0,274 bambini al giorno (ovviamente ne nscono o zero o uno o due o... e mai quarti e quartini!)

Domanda: quanto tempo passa tra la nascita di un bambino e l'altro?

Il problema ci dice che il numero di bambini nati in un giorno si distribuisce come la variabile casuale Poissoniana con λ=0,274 (si veda a tal proposito la relazione che lega la Poissoniana alla Binomiale).

Il teorema sopra indicato ci dice che possiamo usare la Esponenziale Negativa, con a=λ=0,274 ovvero

f(x) = 0,274 · e^{-0,274 x}

e che mediamente passano μ=1/a=1/0,274=3,65 giorni tra una nascita e l'altra (=365 giorni / 100 nati). L'integrale �:

F(y) = ₀∫^yf(x) dx = 1 - e^{-0,274 y}

per F(y)=0,95 si ottiene y=-ln(1-0,95)/0,274=10,9 , vale a dire che nel 95% dei casi, dopo la nascita di un bambino il riposo per l'equipe ostetrica non supera i 10,9 giorni (si veda pure l'esempio molto simile fatto per la v.c. Geometrica)

Ma, ponendo y=1, solo nel 23,9% dei casi la pausa � inferiore alle 24 ore: F(1)=0,23967.

In pratica questa equipe ostetrica che opera unicamente nel comune con 5000 donne fertili, in un anno fa circa 5 pause da 11 giorni o pi�, e circa 24 volte l'anno si rimette a lavoro entro le 24 ore.