Variabile casuale Geometrica

La variabile casuale geometrica, detta pure distribuzione di Pascal, � una v.c. discreta che trova tra l'altro applicazione nella teoria delle file d'attesa.

Table of contents

1 Metodologia
2 Esempio fittizio
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Metodologia

Ha come funzione di probabilità e funzione di ripartizione

P(x) = p q^x , dove 0

P(x≤k) = 1 - q^k+1

e funzione generatrice dei momenti

g(t) = p / (1-qe^t)

;media: μ = q/p ;varianza: σ² = q/p² ;simmetria: β₁ = 2+(q²+1)/q ;curtosi: β₁ = β₁ + 5

La v.c. Geometrica viene usata quando, nell'ambito di un evento che succede o non succede con le probabilità rispettivamente p e q, ci si chiede la probabilità che l'evento abbia successo in seguito a x insuccessi. P.es.: Qual'� la probabilità lanciando il dado, che bisogna aspettare x+1 lanci prima di ottenere il benedetto 6.

Esempio fittizio

NB: Questo esempio riprende quello portato per la v.c. esponenziale negativa

In una provincia con 50mila donne in età fertile, nascono 1000 bambini all'anno. Ci si deve aspettare che mediamente in un comune con 5mila donne in età fertile nascano annualmente 100 bambini (a volte di pi�, a volte di meno). Pertanto ci si aspetta che nascano 100/365=0,274 bambini al giorno (ovviamente ne nscono o zero o uno o due o... e mai quarti e quartini!). Usando la v.c. Poissoniana scopriamo che la probabilità che in un giorno non nasca nessuno � pari a 76%.

;Domanda: Qual'� la probabilità che in un giorno del calendario ci sia almeno una nascita, dopo che per esattamente 10 giorni l'ostetrica del paese � rimasta inoperosa? ;Risposta: P(10) = 0,24 · 0,76¹⁰ = 1,5%

;seconda Domanda: Qual'� la probabilità che in un giorno di calendario ci sia almeno un parto, dopo che sono passati al massimo 10 giorni inoperosi per l'ostetrico? ;risposta: P(x≤10) = 1-0,76¹⁰⁺¹ = 94,9%. Si veda per confronto il risultato ottenuto per una domanda molto simile nell'esempio posto per la v.c. Esponenziale Negativa.