Simmetria (statistica)

In statistica una distribuzione, una funzione di probabilità, una funzione di densità o comunque una variabile casuale si dicono simmetriche quando esiste un valore X_m (che coincide con la media aritmetica ovvero con il valore atteso) per il quale a tutti i valori minori X_a (con X_a=X_m-Δ) corrisponde una frequenza o funzione di probabilità o funzione di densità identica a quella che corrisponde al valore X_b=X_m+Δ.

In altre parole, quando vale l'uguaglianza f(μ-δ)=f(μ+δ).

In generale viene usato l'indicatore di simmetria

β₁ = (m₃)² / (m₂)³

ove m₂ e m₃ sono relativamente il momento centrale secondo e terzo.

Tale indicatore è

=0, nel caso di perfetta simmetria

<0, per l'assimetria a destra

>0, per l'assimetria a sinistra

oppure la sua radice

γ₁ = m₃ / √(m₂)³ = √β₁

Entrambi hanno lo svantaggio che possono assumero valore nullo anche in presenza di assimetria.

Un altro importante indice di asimmetria è lo skewness di Pearson.

S_k = (μ-ν₀)/σ ove ν₀ è la moda

che ha come difetto il fatto che

• è applicabile solo a distribuzioni unimodali
• non è normalizzato
• assumere valore zero è una condizione necessaria ma non sufficiente per una simmetria

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Vedi anche:

• variabile casuale simmetrica
• curtosi, varianza, media

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