Variabile casuale F di Snedecor
La variabile casuale F di Snedecor (detta pure v.c. F di Fisher) deve il suo nome a George W. Snedecor e al suo maestro Fisher. Venne individuata nell'ambito degli studi sulla Analisi della Varianza.La funzione di densità di probabilità è
gg/2 mm/2 x(g-2)/2
f(x) = -------------- -----------------
β(g/2 , m/2) (gx+m)(g+m)/2
dove β() è la funzione Beta e g e m sono i due gradi di libertà , che identificano la v.c.I momenti della v.c. sono dati da
Γ(k+g/2) Γ(m/2-k)
µk = (m/g)k ---------------------
Γ(g/2) Γ(m/2)
dove Γ() è la funzione Gamma.Cosicché si ricava ;media: μ = m/(m-2) che è sempre maggiore di 1 (m>2) ;varianza: σ² = [ 2 m² (g+m-2) ] / [ g (m-2)² (m-4) ] (m>4) ;moda: ν0 = m/g (g-2)/(m+2) che è sempre minore di 1 (g>2) ;simmetria: β1 = [ 2g²+3gm-6g+(m-2)² ]² [ 8(m-4) ] / [ g(m-6)²(m+g-2)³ ] ;curtosi: β2 = [ g³m+10g³+2g²m²+16g²m-40g²+gm³+10gm²-52gm+56g+4m³-24m²+48m.32 ] [ 3(m-4) ] / [ g(m-6)(m-8)(m+g-2)² ]
| Table of contents |
|
2 Tavole dei valori critici 3 Tavola per valori critici al 95% 4 Tavola per valori critici al 97,5% 5 Tavola per valori critici al 99% |
Si hanno le seguenti caratteristiche per la v.c. F di Snedecor:
Teoremi
In altre parole:
Inoltre:
;Se:Xg1 e Xg2 sono v.c. Chi Quadrato con ripsettivamente g1 e g2 gradi di libertÃ
;allora: Y = ]Xg1/g1] / ]Xg2/g2] è distribuita come una F di Snedecor con g1 e g2 gradi di liberta;
Vedi anche:
- Analisi della Varianza
- v.c. t di Student, v.c. χ², v.c. Normale
- statistica, probabilitÃ
- George W. Snedecor, Ronald Fisher
Tavole dei valori critici
I valori critici sono stati calcolati con la funzione qf(p,g1,g2) di R (software)Vale la seguente relazione: qf(p,g1,g2) == 1 / qf( (1-p),g2,g1) , in parole povere: per ottenere il valore critico complementare bisogna fare il reciproco con i gradi di libertà invertiti
Tavola per valori critici al 95%
+-----+----------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| \\ g1| |
| \\ | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30 60 ∞ |
|g2 \\ | |
+-----+----------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 1 | 161.45 199.50 215.71 224.58 230.16 233.99 236.77 238.88 240.54 241.88 245.95 248.01 250.10 252.20 254.31 |
| 2 | 18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 19.35 19.37 19.38 19.40 19.43 19.45 19.46 19.48 19.50 |
| 3 | 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79 8.70 8.66 8.62 8.57 8.53 |
| 4 | 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00 5.96 5.86 5.80 5.75 5.69 5.63 |
| 5 | 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74 4.62 4.56 4.50 4.43 4.36 |
| 6 | 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 4.06 3.94 3.87 3.81 3.74 3.67 |
| 7 | 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64 3.51 3.44 3.38 3.30 3.23 |
| 8 | 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 3.35 3.22 3.15 3.08 3.01 2.93 |
| 9 | 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14 3.01 2.94 2.86 2.79 2.71 |
| 10 | 4.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98 2.85 2.77 2.70 2.62 2.54 |
| 11 | 4.84 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01 2.95 2.90 2.85 2.72 2.65 2.57 2.49 2.40 |
| 12 | 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2.85 2.80 2.75 2.62 2.54 2.47 2.38 2.30 |
| 13 | 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67 2.53 2.46 2.38 2.30 2.21 |
| 14 | 4.60 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.70 2.65 2.60 2.46 2.39 2.31 2.22 2.13 |
| 15 | 4.54 3.68 3.29 3.06 2.90 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54 2.40 2.33 2.25 2.16 2.07 |
| 16 | 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49 2.35 2.28 2.19 2.11 2.01 |
| 17 | 4.45 3.59 3.20 2.96 2.81 2.70 2.61 2.55 2.49 2.45 2.31 2.23 2.15 2.06 1.96 |
| 18 | 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.41 2.27 2.19 2.11 2.02 1.92 |
| 19 | 4.38 3.52 3.13 2.90 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38 2.23 2.16 2.07 1.98 1.88 |
| 20 | 4.35 3.49 3.10 2.87 2.71 2.60 2.51 2.45 2.39 2.35 2.20 2.12 2.04 1.95 1.84 |
| 25 | 4.24 3.39 2.99 2.76 2.60 2.49 2.40 2.34 2.28 2.24 2.09 2.01 1.92 1.82 1.71 |
| 30 | 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16 2.01 1.93 1.84 1.74 1.62 |
| 60 | 4.00 3.15 2.76 2.53 2.37 2.25 2.17 2.10 2.04 1.99 1.84 1.75 1.65 1.53 1.39 |
|100 | 3.94 3.09 2.70 2.46 2.31 2.19 2.10 2.03 1.97 1.93 1.77 1.68 1.57 1.45 1.28 |
| ∞ | 3.84 3.00 2.60 2.37 2.21 2.10 2.01 1.94 1.88 1.83 1.67 1.57 1.46 1.32 1.00 |
+-----+----------------------------------------------------------------------------------------------------------+
Tavola per valori critici al 97,5%
+-----+----------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| \\ g1| |
| \\ | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30 60 ∞ |
|g2 \\ | |
+-----+----------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 1 | 647.79 799.50 864.16 899.58 921.85 937.11 948.22 956.66 963.28 968.63 984.87 993.10 1001.4 1009.8 1018.3 |
| 2 | 38.51 39.00 39.17 39.25 39.30 39.33 39.36 39.37 39.39 39.40 39.43 39.45 39.46 39.48 39.50 |
| 3 | 17.44 16.04 15.44 15.10 14.88 14.73 14.62 14.54 14.47 14.42 14.25 14.17 14.08 13.99 13.90 |
| 4 | 12.22 10.65 9.98 9.60 9.36 9.20 9.07 8.98 8.90 8.84 8.66 8.56 8.46 8.36 8.26 |
| 5 | 10.01 8.43 7.76 7.39 7.15 6.98 6.85 6.76 6.68 6.62 6.43 6.33 6.23 6.12 6.02 |
| 6 | 8.81 7.26 6.60 6.23 5.99 5.82 5.70 5.60 5.52 5.46 5.27 5.17 5.07 4.96 4.85 |
| 7 | 8.07 6.54 5.89 5.52 5.29 5.12 4.99 4.90 4.82 4.76 4.57 4.47 4.36 4.25 4.14 |
| 8 | 7.57 6.06 5.42 5.05 4.82 4.65 4.53 4.43 4.36 4.30 4.10 4.00 3.89 3.78 3.67 |
| 9 | 7.21 5.71 5.08 4.72 4.48 4.32 4.20 4.10 4.03 3.96 3.77 3.67 3.56 3.45 3.33 |
| 10 | 6.94 5.46 4.83 4.47 4.24 4.07 3.95 3.85 3.78 3.72 3.52 3.42 3.31 3.20 3.08 |
| 11 | 6.72 5.26 4.63 4.28 4.04 3.88 3.76 3.66 3.59 3.53 3.33 3.23 3.12 3.00 2.88 |
| 12 | 6.55 5.10 4.47 4.12 3.89 3.73 3.61 3.51 3.44 3.37 3.18 3.07 2.96 2.85 2.72 |
| 13 | 6.41 4.97 4.35 4.00 3.77 3.60 3.48 3.39 3.31 3.25 3.05 2.95 2.84 2.72 2.60 |
| 14 | 6.30 4.86 4.24 3.89 3.66 3.50 3.38 3.29 3.21 3.15 2.95 2.84 2.73 2.61 2.49 |
| 15 | 6.20 4.77 4.15 3.80 3.58 3.41 3.29 3.20 3.12 3.06 2.86 2.76 2.64 2.52 2.40 |
| 16 | 6.12 4.69 4.08 3.73 3.50 3.34 3.22 3.12 3.05 2.99 2.79 2.68 2.57 2.45 2.32 |
| 17 | 6.04 4.62 4.01 3.66 3.44 3.28 3.16 3.06 2.98 2.92 2.72 2.62 2.50 2.38 2.25 |
| 18 | 5.98 4.56 3.95 3.61 3.38 3.22 3.10 3.01 2.93 2.87 2.67 2.56 2.44 2.32 2.19 |
| 19 | 5.92 4.51 3.90 3.56 3.33 3.17 3.05 2.96 2.88 2.82 2.62 2.51 2.39 2.27 2.13 |
| 20 | 5.87 4.46 3.86 3.51 3.29 3.13 3.01 2.91 2.84 2.77 2.57 2.46 2.35 2.22 2.09 |
| 25 | 5.69 4.29 3.69 3.35 3.13 2.97 2.85 2.75 2.68 2.61 2.41 2.30 2.18 2.05 1.91 |
| 30 | 5.57 4.18 3.59 3.25 3.03 2.87 2.75 2.65 2.57 2.51 2.31 2.20 2.07 1.94 1.79 |
| 60 | 5.29 3.93 3.34 3.01 2.79 2.63 2.51 2.41 2.33 2.27 2.06 1.94 1.82 1.67 1.48 |
|100 | 5.18 3.83 3.25 2.92 2.70 2.54 2.42 2.32 2.24 2.18 1.97 1.85 1.71 1.56 1.35 |
| ∞ | 5.02 3.69 3.12 2.79 2.57 2.41 2.29 2.19 2.11 2.05 1.83 1.71 1.57 1.39 1.00 |
+-----+----------------------------------------------------------------------------------------------------------+
Tavola per valori critici al 99%
+-----+----------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| \\ g1| |
| \\ | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30 60 ∞ |
|g2 \\ | |
+-----+----------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 1 | 4052.2 4999.5 5403.4 5624.6 5763.6 5859.0 5928.4 5981.1 6022.5 6055.8 6157.3 6208.7 6260.6 6313.0 6365.9 |
| 2 | 98.50 99.00 99.17 99.25 99.30 99.33 99.36 99.37 99.39 99.40 99.43 99.45 99.47 99.48 99.50 |
| 3 | 34.12 30.82 29.46 28.71 28.24 27.91 27.67 27.49 27.35 27.23 26.87 26.69 26.50 26.32 26.13 |
| 4 | 21.20 18.00 16.69 15.98 15.52 15.21 14.98 14.80 14.66 14.55 14.20 14.02 13.84 13.65 13.46 |
| 5 | 16.26 13.27 12.06 11.39 10.97 10.67 10.46 10.29 10.16 10.05 9.72 9.55 9.38 9.20 9.02 |
| 6 | 13.75 10.92 9.78 9.15 8.75 8.47 8.26 8.10 7.98 7.87 7.56 7.40 7.23 7.06 6.88 |
| 7 | 12.25 9.55 8.45 7.85 7.46 7.19 6.99 6.84 6.72 6.62 6.31 6.16 5.99 5.82 5.65 |
| 8 | 11.26 8.65 7.59 7.01 6.63 6.37 6.18 6.03 5.91 5.81 5.52 5.36 5.20 5.03 4.86 |
| 9 | 10.56 8.02 6.99 6.42 6.06 5.80 5.61 5.47 5.35 5.26 4.96 4.81 4.65 4.48 4.31 |
| 10 | 10.04 7.56 6.55 5.99 5.64 5.39 5.20 5.06 4.94 4.85 4.56 4.41 4.25 4.08 3.91 |
| 11 | 9.65 7.21 6.22 5.67 5.32 5.07 4.89 4.74 4.63 4.54 4.25 4.10 3.94 3.78 3.60 |
| 12 | 9.33 6.93 5.95 5.41 5.06 4.82 4.64 4.50 4.39 4.30 4.01 3.86 3.70 3.54 3.36 |
| 13 | 9.07 6.70 5.74 5.21 4.86 4.62 4.44 4.30 4.19 4.10 3.82 3.66 3.51 3.34 3.17 |
| 14 | 8.86 6.51 5.56 5.04 4.69 4.46 4.28 4.14 4.03 3.94 3.66 3.51 3.35 3.18 3.00 |
| 15 | 8.68 6.36 5.42 4.89 4.56 4.32 4.14 4.00 3.89 3.80 3.52 3.37 3.21 3.05 2.87 |
| 16 | 8.53 6.23 5.29 4.77 4.44 4.20 4.03 3.89 3.78 3.69 3.41 3.26 3.10 2.93 2.75 |
| 17 | 8.40 6.11 5.18 4.67 4.34 4.10 3.93 3.79 3.68 3.59 3.31 3.16 3.00 2.83 2.65 |
| 18 | 8.29 6.01 5.09 4.58 4.25 4.01 3.84 3.71 3.60 3.51 3.23 3.08 2.92 2.75 2.57 |
| 19 | 8.18 5.93 5.01 4.50 4.17 3.94 3.77 3.63 3.52 3.43 3.15 3.00 2.84 2.67 2.49 |
| 20 | 8.10 5.85 4.94 4.43 4.10 3.87 3.70 3.56 3.46 3.37 3.09 2.94 2.78 2.61 2.42 |
| 25 | 7.77 5.57 4.68 4.18 3.85 3.63 3.46 3.32 3.22 3.13 2.85 2.70 2.54 2.36 2.17 |
| 30 | 7.56 5.39 4.51 4.02 3.70 3.47 3.30 3.17 3.07 2.98 2.70 2.55 2.39 2.21 2.01 |
| 60 | 7.08 4.98 4.13 3.65 3.34 3.12 2.95 2.82 2.72 2.63 2.35 2.20 2.03 1.84 1.60 |
|100 | 6.90 4.82 3.98 3.51 3.21 2.99 2.82 2.69 2.59 2.50 2.22 2.07 1.89 1.69 1.43 |
| ∞ | 6.63 4.61 3.78 3.32 3.02 2.80 2.64 2.51 2.41 2.32 2.04 1.88 1.70 1.47 1.00 |
+-----+----------------------------------------------------------------------------------------------------------+
