Variabile casuale t di Student
La variabile casuale t di Student è una variabile casuale continua che deve il suo nome allo pseudonimo Student usato da William Sealy Gosset, che ideò l'omonimo test, mentre la v.c. stessa venne identificata da Ronald Fisher.La sua funzione di densità di probabilità ha il parametro g>0, detto gradi di libertà , ed è
1
f(x) = -------------------------------------- -∞ < x < +∞
√g β(1/2 , g/2) (1 + x²/g)(g+1)/2
dove β() è la funzione Beta.I momenti di ordine k sono pari a:
1 +∞ tk
μk = --------------- ∫ ---------------- dt
√g β(1/2 , g/2) -∞ (1+t²/g)(g+1)/2
ed esistono solo per g>k, inoltre sono nulli per tutti i momenti di ordine dispari, mentre per i momenti pari sono:
Γ(r+1/2) Γ(g/2-r)
μ2r = gr --------------------- g > 2r
Γ(1/2) Γ(g/2)
dove Γ() è la funzione Gamma.Percui ;la media: è nulla (μ=0), ;la varianza: σ²=g/(g-2) (per g>2), ;la simmetria: β1=0, per g>3, dunque si tratta di una variabile casuale simmetrica ;la curtosi: β2 = 3 + 6/(g-4), per g>4 la v.c. è leptocurtica.
La v.c. t di Student ha le seguenti caratteristiche:
- per g → +∞ tende ad una v.c. Normale standardizzata (μ=0 e σ²=1)
- se Z~N(0;1) e X~χ²g, allora T=Z/√X/g è distribuita come una t di Student con g gradi di libertà .
- se g=1 allora si ottiene la v.c. di Cauchy, che non possiede momenti.
Vedi anche:
- statistica, statistica parametrica, statistica inferenziale, probabilitÃ
- W.S.Gosset (alias Student)
- v.c. Normale, v.c. F di Snedecor
Tavola dei calori critici
Valori critici calcolati con la funzione qt(p,g) di R (software).In pratica si tratta dei valori critici per test con una coda.
+----+-----------------------------------------------------------------+ | \\ α| | | \\ | 0.99 0.95 0.975 0.99 0.995 0.9975 0.999 0.9995 | | g \\| | +----+-----------------------------------------------------------------+ | 1 | 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 127.321 318.309 636.619 | | 2 | 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 14.089 22.327 31.599 | | 3 | 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 7.453 10.215 12.924 | | 4 | 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 5.598 7.173 8.610 | | 5 | 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 4.773 5.893 6.869 | | 6 | 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 4.317 5.208 5.959 | | 7 | 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 4.029 4.785 5.408 | | 8 | 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 3.833 4.501 5.041 | | 9 | 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 3.690 4.297 4.781 | | 10 | 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 3.581 4.144 4.587 | | 11 | 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 3.497 4.025 4.437 | | 12 | 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 3.428 3.930 4.318 | | 13 | 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 3.372 3.852 4.221 | | 14 | 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 3.326 3.787 4.140 | | 15 | 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 3.286 3.733 4.073 | | 16 | 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 3.252 3.686 4.015 | | 17 | 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 3.222 3.646 3.965 | | 18 | 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 3.197 3.610 3.922 | | 19 | 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 3.174 3.579 3.883 | | 20 | 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 3.153 3.552 3.850 | | 21 | 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 3.135 3.527 3.819 | | 22 | 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.119 3.505 3.792 | | 23 | 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 3.104 3.485 3.768 | | 24 | 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 3.091 3.467 3.745 | | 25 | 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 3.078 3.450 3.725 | | 26 | 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 3.067 3.435 3.707 | | 27 | 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 3.057 3.421 3.690 | | 28 | 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.047 3.408 3.674 | | 29 | 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 3.038 3.396 3.659 | | 30 | 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 3.030 3.385 3.646 | | 40 | 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 2.971 3.307 3.551 | | 50 | 1.299 1.676 2.009 2.403 2.678 2.937 3.261 3.496 | | 60 | 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660 2.915 3.232 3.460 | |100 | 1.290 1.660 1.984 2.364 2.626 2.871 3.174 3.390 | | ∞ | 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576 2.807 3.090 3.291 | +----+-----------------------------------------------------------------+
