Variabile casuale Chi Quadrato

La variabile casuale Chi Quadrato (χ²) è un caso particolare della v.c. Gamma con a=1/2 e p=g/2 (ove g sono i gradi di libertà), quindi è una variabile casuale assolutamente continua.

Nel caso di χ² con un grado di libertà la funzione di ripartizione è

f(x) = e^-x/2 x^-1/2 / √2π per x>0

Considerando una variabile casuale normale Z (0;σ²) di media nulla sarà:

X=Z²

Per generalizzare il numero dei gradi di libertà, si considerino n distribuzioni normali Z₁(0;1); Z₂(0;1); ... Z_n(0;1) con media nulla e varianza unitaria indipendenti tra loro. Sarà :

χ²_n= Z₁² + Z₂² + .... +Z_n²

La funzione di densità f(x) per χ²_n (chi quadro con n gradi di libertà) sarà

        e-x/2 xn/2-1
f(x)= ---—---—---—---—     (0 < x < ∞)
        2n/2  Γ(n/2)

Dove Γ() è la funzione Gamma.

Pertanto si ottiene: ;valore atteso: μ = g (dove g sono i gradi di libertà) ;varianza: σ² = 2g ;simmetria: β₁ = 8/g ;curtosi: β₂ = 3 + 12/g ;moda: ν₀ = g-2 (per n ≥ 3)

Il χ² oltre a essere ricavabile sia come trasformata di una variabile casuale normale, sia come caso particolare della distribuzione Gamma. Infatti considerando la variabile casuale Gamma G(1/2 ;g/2) essa è equivalente a un chi quadro con g gradi di libertà (χ²_g).

La variabile aleatoria χ² variabile può essere assunta come misura dello scostamento tra frequenze osservate A₁, A₂, ..., A_k e frequenze teoriche np1 ; np2; .... ; np1k , associate a una distribuzione di probabilità ipotizzata per le k modalità (p1 ; p2;...; p1k).

Table of contents

1 Teoremi 2 Valori critici 3 Storia 4 Tabella dei valori critici

Teoremi

;Se:X₁, X₂, ..., X_n sono n v.c. χ² tra di loro indipendenti, ciascuna con g_i gradi di libertà, ;allora: la v.c. Y = X₁ + X₂ + ... + X_n è a sua volta una v.c. χ² con g gradi di libertà, ove g = g₁ + g₂ + ... + g_n

;Se:Z è una v.c. Normale standardizzata N(0,1), e X=Z² ;allora: X è una v.c. χ² con 1 grado di libertà.

Un ulteriore importante proprietà del χ² è data dal seguente teorema.

Considerato un campione di n elementi estratto da una popolazione normale Z(μ;σ²) indicando con S² la distribuzione della varianza campionaria (ovvero _iΣ₁ⁿ(x_i-media)²/(n-1) ) sarà:

(n-1)S²/σ² ~ χ²_n-1

nota: il simbolo ~ si legge si distribuisce come.

La v.c. χ² tende ad una Normale N(g,2g). Ciò avviene però molto lentamente. La convergenza può essere accelerata effettuando la trasformazione

z = √(2χ²) - √(2g-1)

Valori critici

Trattandosi di infinite variabili casuali (in quanto vengono determinate dai gradi di libertà), si è soliti rappresentare tabelle con valori critici al posto delle tabelle delle funzioni di ripartizione.

La tabella con valori critici che segue alla fine dell'articolo, devono essere letti nel seguente modo:

La probabilità α che non venga superato il valore critico χ²_α,g, nel caso di g gradi di libertà.

Per g>30 si ritiene che i valori critici possano essere rappresentati sufficientemente bene dalla

χ²_α,g = 1/2 ( z_α + √(2g-1) )² dove z_α è il valore critico per la Normale standardizzata N(0;1) (p.es. z_0,95 = 1,645)

Storia

Ernst Abbe, un ottico (18401905), fu colui che scoprì la χ² analizzando la sommatoria di v.c.Normali standardizzate e indipendenti, che produce una nuova v.c., la χ² appunto.

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Vedi anche:

• Statistica
• variabile casuale, variabile casuale continua
• variabile casuale t di Student, variabile casuale F di Snedecor, variabile casuale Normale (o Gaussiana)

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Tabella dei valori critici

= La probabilità α che non venga superato il valore critico χ²_α,g, nel caso di g gradi di libertà.

+-----+-----------------------------------------------------------------------+
| \\  α|                                                                       |
|  \\  | 0.005  0.01   0.025  0.05   0.10   0.90   0.95   0.975  0.99   0.995  |
|g  \\ |                                                                       |
+-----+-----------------------------------------------------------------------+
|  1  |  0.00   0.00   0.00   0.00   0.02   2.71   3.84   5.02   6.63   7.88  |
|  2  |  0.01   0.02   0.05   0.10   0.21   4.61   5.99   7.38   9.21  10.60  |
|  3  |  0.07   0.11   0.22   0.35   0.58   6.25   7.81   9.35  11.34  12.84  |
|  4  |  0.21   0.30   0.48   0.71   1.06   7.78   9.49  11.14  13.28  14.86  |
|  5  |  0.41   0.55   0.83   1.15   1.61   9.24  11.07  12.83  15.09  16.75  |
|  6  |  0.68   0.87   1.24   1.64   2.20  10.64  12.59  14.45  16.81  18.55  |
|  7  |  0.99   1.24   1.69   2.17   2.83  12.02  14.07  16.01  18.48  20.28  |
|  8  |  1.34   1.65   2.18   2.73   3.49  13.36  15.51  17.53  20.09  21.95  |
|  9  |  1.73   2.09   2.70   3.33   4.17  14.68  16.92  19.02  21.67  23.59  |
| 10  |  2.16   2.56   3.25   3.94   4.87  15.99  18.31  20.48  23.21  25.19  |
| 11  |  2.60   3.05   3.82   4.57   5.58  17.28  19.68  21.92  24.72  26.76  |
| 12  |  3.07   3.57   4.40   5.23   6.30  18.55  21.03  23.34  26.22  28.30  |
| 13  |  3.57   4.11   5.01   5.89   7.04  19.81  22.36  24.74  27.69  29.82  |
| 14  |  4.07   4.66   5.63   6.57   7.79  21.06  23.68  26.12  29.14  31.32  |
| 15  |  4.60   5.23   6.26   7.26   8.55  22.31  25.00  27.49  30.58  32.80  |
| 16  |  5.14   5.81   6.91   7.96   9.31  23.54  26.30  28.85  32.00  34.27  |
| 17  |  5.70   6.41   7.56   8.67  10.09  24.77  27.59  30.19  33.41  35.72  |
| 18  |  6.26   7.01   8.23   9.39  10.86  25.99  28.87  31.53  34.81  37.16  |
| 19  |  6.84   7.63   8.91  10.12  11.65  27.20  30.14  32.85  36.19  38.58  |
| 20  |  7.43   8.26   9.59  10.85  12.44  28.41  31.41  34.17  37.57  40.00  |
| 21  |  8.03   8.90  10.28  11.59  13.24  29.62  32.67  35.48  38.93  41.40  |
| 22  |  8.64   9.54  10.98  12.34  14.04  30.81  33.92  36.78  40.29  42.80  |
| 23  |  9.26  10.20  11.69  13.09  14.85  32.01  35.17  38.08  41.64  44.18  |
| 24  |  9.89  10.86  12.40  13.85  15.66  33.20  36.42  39.36  42.98  45.56  |
| 25  | 10.52  11.52  13.12  14.61  16.47  34.38  37.65  40.65  44.31  46.93  |
| 26  | 11.16  12.20  13.84  15.38  17.29  35.56  38.89  41.92  45.64  48.29  |
| 27  | 11.81  12.88  14.57  16.15  18.11  36.74  40.11  43.19  46.96  49.64  |
| 28  | 12.46  13.56  15.31  16.93  18.94  37.92  41.34  44.46  48.28  50.99  |
| 29  | 13.12  14.26  16.05  17.71  19.77  39.09  42.56  45.72  49.59  52.34  |
| 30  | 13.79  14.95  16.79  18.49  20.60  40.26  43.77  46.98  50.89  53.67  |
+-----+-----------------------------------------------------------------------+
Fonte: calori critici calcolati con la funzione qchisq( ,1:30) di R (software)

Per g>30 si ritiene che i valori critici possano essere rappresentati sufficientemente bene dalla

χ²_α,g = 1/2 ( z_α + √(2g-1) )² dove z_α è il valore critico per la Normale standardizzata N(0;1) (p.es. z_0,95 = 1,645)

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