sinh, cosh e tanh

(seno iperbolico, indicato con "sinh")

(coseno iperbolico, indicato con "cosh")

(tangente iperbolica, indicata con "tanh")

(cotangente iperbolica, indicata con "coth")

(secante iperbolica, indicata con "sech")

(cosecante iperbolica, indicata con "cosech")

Table of contents

1 Relazione con le funzioni trigonometriche 2 Funzioni iperboliche inverse 3 Funzioni iperboliche fornite da integrali 4 Funzioni iperboliche di argomento complesso

Relazione con le funzioni trigonometriche

Al variare della variabile t i punti (cos t, sin t) definiscono la circonferenza x² + y² = 1; analogamente i punti (cosh t, sinh t) definiscono l'iperbole equilatera x² - y² = 1. Questa è una conseguenza dell'identità facilmente derivabile dalle definizioni.

Le funzioni iperboliche non sono periodiche.

L'argomento t delle funzioni che definiscono la circonferenza può essere interpretato naturalmente come un angolo; la t argomento delle funzioni iperboliche rappresenta invece due volte l'area compresa tra l'asse x, l'iperbole e la linea retta che collega l'origine con il punto (cosh t, sinh t) sull'iperbole. La funzione cosh x è una funzione pari, cioè simmetrica rispetto all'asse y e si ha cosh 0 = 1. La funzione sinh x è invece una funzione dispari, cioè simmetrica rispetto all'origine, e si trova

sinh 0 = 0.

Conseguentemente sono funzioni dispari anche tanh x, coth x e cosech x, mentre sec x è pari. Le funzioni iperboliche soddisfano molte identità, simili a corrispondenti identità trigonometriche. In effetti, la formula di Osborne specifica che si può convertire ogni identità trigonometrica in una identità iperbolica sviluppandola completamente in termini di potenze intere di seni e coseni, trasformando ogni sin in sinh e ogni cos in cosh e infine cambiando il segno di ogni termine che contiene un prodotto di due sinh. Procedendo in questo modo, ad esempio, si trovano i teoremi di addizione

:

angolo dimezzato''

La derivata di sinh x è data da cosh x e la derivata di cosh x è sinh x; questo collegamento si legge facilmente sui grafici delle funzioni. Il grafico della funzione cosh x è la curva catenaria, profilo assunto da un cavo con densità uniforme con le due estremità fissate e sottoposto alla gravità.

Funzioni iperboliche inverse

Le inverse delle funzioni iperboliche sono

Funzioni iperboliche fornite da integrali

Funzioni iperboliche di argomento complesso

Dato che la funzione esponenziale può essere definita per ogni argomento complesso, possiamo estendere la definizione delle funzioni iperboliche anche agli argomenti complessi. Le funzioni sinh z e cosh z sono quindi olomorfe per ogni argomento complesso; le loro espressioni in serie di Taylor sono fornite dall'articolo serie di Taylor.

Le relazioni con le funzioni trigonometriche sono ottenute dalla formula di Eulero per i numeri complessi:

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Vedi anche

• Elenco di cosh

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