Identità trigonometrica
Questa pagina è dedicata alle identità trigonometriche, cioè ad uguaglianze riguardanti funzioni trigonometriche che risultano vere per tutti i valori delle variabili che vi compaiono.Queste identità sono utilizzate per semplificare molte espressioni contenenti funzioni trigonometriche e per molti calcoli di integrali; anche molti integrali di funzioni non trigonometriche possono essere calcolati con cambiamenti di variabile che utilizzano una funzione trigonometrica e portano a decisive semplificazioni.
Notazioni: Per denotare la funzione inversa del seno talora si usa sin−1(x); qui preferiamo usare arcsin(x) e scrivere csc(x) per denotare la inversa moltiplicativa della funzione seno.
Queste formule si ricavano facilmente dalle definizioni sulla circonferenza
trigonometrica.
Molti modelli fisici si basano sul fatto che qualsiasi combinazione lineare d'onde sinusoidali con
lo stesso periodo ma di differenti fasi è ancora un'onda sinusoidale
dello stesso periodo, ma con una nuova fase. Precisamente:
dove
Il modo piu veloce per dimostrare le prime due formule è utilizzare le formule di Eulero attraverso la funzione cis. La formula per la tangente segue dalle prime due.
Una dimostrazione geometrica dell'identità per sin(x + y) è data alla fine di questo articolo.
dove
Queste possono essere ottenute sostituendo x = y nei teoremi di addizione, e
utilizzando il teorema di Pitagora per le ultime due. Ancor meglio utilizzare la formula di De Moivre con n = 2.
Se denotiamo Tn l' n-esimo polinomio di Chebyshev, allora
Definizioni
Periodicità , simmetria e traslazioni
Conseguenze del teorema di Pitagora
Teoremi di addizione e sottrazione
Formula di duplicazione
Formule per gli angoli multipli
Formula di De Moivre:
Il nucleo di Dirichlet Dn(x) è la funzione che si trova da entrambe la
parti della seguente identità :
La convoluzione di ogni funzione a quadrato sommabile periodica di periodo 2π con il
nucleo di Dirichlet coincide con la somma troncata di ordine n della sua serie di Fourier.
| e | e |
La sostituzione di t per tan(x/2), con il conseguente cambiamento di sin(x) con 2t/(1 + t2) e di cos(x) con (1 − t2)/(1 + t2) è spesso in grado di covertire funzioni razionali in sin(x) e cos(x) da integrare in funzioni di t integrabili. (Vedi anche il successivo "punto di vista astratto".)
Queste formule possono essere provate sviluppando la loro parte destra e semplificando con le formule di
addizione.
Basta rimpiazzare x con (x + y) / 2 e y con (x – y) / 2 nelle
espressioni dei prodotti mediante somme.
Questa funzione è collegata alle funzioni trigonometriche
circolari e alle iperboliche senza ricorrere ai numeri complessi -- vedi l'articolo per i dettagli.
La seguente curiosa identità è stata appresa da Richard Feynman quando era ragazzino:
La seguente identità senza variabili può essere utilizzata per calcolare π
efficientemente:
Nel calcolo infinitesimale è essenziale che gli angoli argomenti di funzioni
trigonometriche siano misurati in radianti; se sono misurati in gradi o in altre
unità di misura, allora le relazioni riportate qui sotto risultano false.
A partire dalle definizioni geometriche delle funzioni
trigonometriche si ricavano le loro derivate dopo aver stabiliti i due limiti che seguono.
(Si verifica usando l'identità tan(x/2) = (1 − cos(x))/sin(x))
Avendo stabilito questi due limiti, si stabilisce che sin′ = cos e
cos′ = −sin. riconducendo la derivazione alla sua definizione come limite di
rapporto incrementale.
Se le funzioni seno e coseno sono definite dalle loro serie di Taylor,
le loro derivate possono essere ottenute derivando le serie di potenze termine a termine.
Le derivate delle altre funzioni trigonometriche sono ricavate dalle precedenti con
le regole di derivazione. Abbiamo quindi:
Si consideri l'equazione differenziale:
Usando queste definizioni di seno e coseno, si possono provare tutte le altre proprietÃ
di seno e coseno utilizzando le stesse tecniche.
In questa figura l'angolo x è parte dell'angolo retto del triangolo ABC, e l'angolo y parte dell'angolo retto del triangolo ACD. Si costruisce DG perpendicolare ad AB e si costruisce CE parallelo ad AB.
Angolo x = Angolo BAC = Angolo ACE = Angolo CDE.
EG = BC.
;
Osservando la figura precedente:
;
Dato che la circonferenza è una curva algebrica di genere 0,
ci si aspetta che le funzioni circolari possano essere riducibili a funzioni razionali.
In effetti è noto classicamente che usando sistematicamente le formule di bisezione
per la tangente si possono esprimere le funzioni seno e coseno in termini
di una nuova variabile t.
Prodotti espressi mediante somme
Somme espresse mediante prodotti
Funzioni trigonometriche inverse
Funzione Gudermanniana
Identità per angoli costanti
Si tratta di un caso particolare della seguente identità in cui compare una variabile:
Altre identità senza variabili:
La misura in gradi degli angoli risulta meno vantaggiosa di quella in
radianti per una x con 21 a denominatore:
I fattori 1, 2, 4, 5, 8, 10 inducono a pensare agli interi inferiori a 21/2 primi con 21.
Gli ultimi esempi sono le conseguenze di un risultato di base sui
polinomi ciclotomici irribucibili:
i coseni sono le parti reali delle radici di questi polinomi;
la somma degli zeri dà il valore della funzione di Möbius valutata in 21;
solo la metà delle radici sono presentate nella relazione precedente. Le due identitÃ
che precedono quest'ultima nascono nello stesso modo relativamente ai casi 10 e 15, rispettivamente.
oppure usando la formula di Eulero:Calcoli
(si verifica osservando la circonferenza trigonometrica e il teorema del confronto).
Osserviamo che se usassimo la regola di de L'Hôpital per stabilire questo
limite creeremmo un circolo vizioso sul piano logico, in quanto da questo limite si ricavano le derivate di seno e
coseno necessarie per applicare la suddetta regola.
Le identità integrali possono essere trovate nella tavole di integrali.Dimostrazioni usando un'equazione differenziale
Utilizzando la formula di Eulero e il metodo di risoluzione delle equazioni differenziali lineari, insieme al teorema di unicità e al teorema di esistenza
possiamo definire seno e coseno nei modi seguenti 1è l'unica soluzione della equazione
è l'unica soluzione della equazione
Proviamo che
Introduciamo e troviamo le sue derivate prima e seconda:
Quindi
Dunque possiamo dire che
Utilizziamo ancora le tecniche di risoluzione delle equazioni differentiali lineari
e la formula di Eulero la soluzione di deve essere una combinazione lineare di e , quindi
Si trova B ponendo 0 al posto di x
Per le condizioni iniziali , quindi
Risolvendo per A abbiamo la derivata di T(x) e ponendo 0 al posto di x
Utilizando le condizioni iniziali e dato che
Sostituendo A e B nell'equazione originale di T(x)abbiamo
ma dato che T(x) è definita come abbiamo
o
C.V.D.Dimostrazioni geometriche
sin(x + y) sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)
cos(x + y) cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y)
Punti di vista astratti
Vedi anche
