Legge di conservazione della carica elettrica

La legge di conservazione della carica elettrica, nota anche come equazione di continuità, può essere enunciata così:

Il flusso della densità di corrente attraverso una qualunque superficie chiusa S � pari alla variazione della carica contenuta nel volume racchiuso da S

In pratica quello che esce da una superficie, doveva essere già all'interno, e non si crea nessuna carica.

Table of contents

1 Definizione matematica
2 Un po' di storia
3 Notazione relativistica

Definizione matematica

Matematicamente, � solitamente descritta come equazione differenziale

o come legge integrale

dove i � la corrente e ρ la densità di carica.

È una conseguenza delle equazioni di Maxwell: nel dettaglio essa proviene dall'operazione di divergenza effettuata sulla quarta e dal sostituire al suo interno il valore della prima:

e quindi l'equazione di continuità.

Un po' di storia

In realtà, la formulazione della legge � antecedente alle leggi di Maxwell. La IV equazione era nota nella forma

come legge di Amp�re.

Ora, per una proprietà dell'algebra vettoriale, cio� che

, per A e B qualunque

la divergenza di quanto sopra � nulla, ossia .

Applicando il teorema di Gauss sulla divergenza, si ha:

Sostituendo la forma integrale della conservazione della carica,

Quindi, secondo la legge di Amp�re non potrebbe esistere nessun movimento di cariche, e quindi nessuna corrente. Dato che ciò � falso, o � sbagliata la conservazione della carica, o la legge � incompleta. Visto che non si era mai osservata la creazione di carica, il ragionamento di Maxwell, espresso in termini moderni, fu il seguente: dato che la divergenza di un rotore � sempre nulla, ci deve essere un termine uguale ed opposto a j/(c²ε₀) per far tornare l'equazione.

Ora, supponendo una distribuzione uniforme di carica Q in funzione di una distanza r da un punto, Q(r), applicando il teorema di Gauss ad una sfera centrata sul punto e di raggio r, il campo elettrico E avrebbe intensità

La derivata della carica rispetto al tempo, ossia la densità di corrente moltiplicata l'area della superficie, � uguale ed opposta alla variazione della carica nel volume racchiuso:

Quindi la derivata del campo E rispetto al tempo �

cio�

Ciò vale per una distribuzione di carica qualunque.

Quindi, per avere coerenza, va aggiunto al secondo membro dell'equazione di Amp�re un termine pari alla derivata temporale del campo elettrico, ed ecco magicamente la IV equazione di Maxwell

Notazione relativistica

L'equazione di continuità può essere scritta in maniera molto semplice e compatta utilizzando la notazione relativistica. Si definisce il quadrivettore densità di corrente J = (ρ, j;), la cui componente temporale ρ � la densità di carica e quella spaziale j � il vettore densità di corrente; in questo modo l'equazione di continuità diventa:

o anche

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