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Legge di conservazione della carica elettrica

La legge di conservazione della carica elettrica, nota anche come equazione di continuità, può essere enunciata così:

Il flusso della densità di corrente attraverso una qualunque superficie chiusa S pari alla variazione della carica contenuta nel volume racchiuso da S

In pratica quello che esce da una superficie, doveva essere già all'interno, e non si crea nessuna carica.

Table of contents
1 Definizione matematica
2 Un po' di storia
3 Notazione relativistica

Definizione matematica

Matematicamente, solitamente descritta come equazione differenziale

o come legge integrale

dove i la corrente e ρ la
densità di carica.

È una conseguenza delle equazioni di Maxwell: nel dettaglio essa proviene dall'operazione di divergenza effettuata sulla quarta e dal sostituire al suo interno il valore della prima:

e quindi l'equazione di continuità.

Un po' di storia

In realtà, la formulazione della legge antecedente alle leggi di Maxwell. La IV equazione era nota nella forma
come legge di
Ampre.

Ora, per una proprietà dell'algebra vettoriale, cio che

, per A e B qualunque
la divergenza di quanto sopra nulla, ossia .

Applicando il teorema di Gauss sulla divergenza, si ha:

Sostituendo la forma integrale della conservazione della carica,

Quindi, secondo la legge di Ampre non potrebbe esistere nessun movimento di cariche, e quindi nessuna corrente. Dato che ciò falso, o sbagliata la conservazione della carica, o la legge incompleta. Visto che non si era mai osservata la creazione di carica, il ragionamento di Maxwell, espresso in termini moderni, fu il seguente: dato che la divergenza di un rotore sempre nulla, ci deve essere un termine uguale ed opposto a j/(c2ε0) per far tornare l'equazione.

Ora, supponendo una distribuzione uniforme di carica Q in funzione di una distanza r da un punto, Q(r), applicando il teorema di Gauss ad una sfera centrata sul punto e di raggio r, il campo elettrico E avrebbe intensità

La derivata della carica rispetto al tempo, ossia la densità di corrente moltiplicata l'area della superficie, uguale ed opposta alla variazione della carica nel volume racchiuso:
Quindi la derivata del campo E rispetto al tempo
cio

Ciò vale per una distribuzione di carica qualunque.

Quindi, per avere coerenza, va aggiunto al secondo membro dell'equazione di Ampre un termine pari alla derivata temporale del campo elettrico, ed ecco magicamente la IV equazione di Maxwell

Notazione relativistica

L'equazione di continuità può essere scritta in maniera molto semplice e compatta utilizzando la notazione relativistica. Si definisce il quadrivettore densità di corrente J = (ρ, j;), la cui componente temporale ρ la densità di carica e quella spaziale j il vettore densità di corrente; in questo modo l'equazione di continuità diventa:

o anche


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