Notazione bra-ket
La
notazione bra-ket è utilizzata in
meccanica quantistica, e venne introdotta da
Dirac.
Partendo dall'ampiezza di probabilità di un certo evento, solitamente un
numero complesso, essa scinde i vettori di stato.
Ad esempio rappresenta l'ampiezza di probabilità che partendo da uno stato
φ si arrivi ad uno stato
ψ. Se conosciamo una rappresentazione degli stati
φ e
ψ attraverso gli stati base
i, possiamo scrivere
-
Se analizziamo l'espressione sopra, vediamo che ha una stretta somiglianza con il prodotto scalare: infatti, se
ψi e
φi sono le ampiezze di
ψ e
φ rispetto agli stati base normalizzati, l'espressione sopra diventa:
Dirac propose di scindere il termine a sinistra dell'espressione in due parti, la prima detta
bra e e la seconda detta
ket. Esse rappresentano dunque il vettore di stato dei due sistemi considerati secondo gli stati base. Se poniamo per semplicità che siano solo
tre,
(i1, i2, i3), rispettivamente avremo
- (vettore riga)
- (vettore colonna)
Dato che, generalmente, si ha che l'ampiezza di probabilità di passare da
φ a
ψ è il coniugato dell'ampiezza di probabilità di passare da
ψ a
φ, cioè
-
vale la relazione
Definiamo l'operatore
A una qualunque cosa interagisca con gli stati che stiamo considerando, comprese le apparecchiature sperimentali, che modifichi lo stato
φ trasformandolo nello stato
ψ. Per indicare questo operatore scriveremo . Scomponendo
ψ e
φ in stati base, rispettivamente
i e
j, possiamo porre
Se possiamo calcolare gli elementi di
matrice possiamo calcolare le ampiezze risultanti secondo
i dal passaggio in
A di qualunque stato espresso in
j
Prendiamo ad esempio una particella con spin 1/2, l'elettrone. Abbiamo solo 2 possibili stati base: spin su (+) e spin giù (-). La A sarebbe dunque
Un operatore particolare è quello di evoluzione temporale. Se consideriamo l'elettrone al tempo
t1 in un determinato stato (
+ o
-), esso avrà una certa probablità di trovarsi, in un tempo
t2 successivo al primo, in un certo stato (
+ o
-). Ciascuna delle
quattro possibilità verrà rappresentata dalla seguente notazione matriciale:
Il limite per
t1 → -∞ e
t2 → +∞ è un caso particolare: in questo caso l'operatore di evoluzione temporale viene detto matrice S (da
scattering) ed introduce alla teoria dei propagatori.
