Sezione aurea
La sezione aurea (nota anche come rapporto aureo, numero aureo, costante di Fidia e proporzione divina), indicata abitualmente con la lettera greca Φ (phi);, corrisponde al numero:
Graficamente, la sezione aurea può essere rappresentata da un segmento diviso in due parti a e b, tali che il rapporto tra l'intero segmento a+b e la parte più lunga a sia uguale al rapporto tra la parte più lunga a e la parte più corta b:
ProprietÃ
Anche le due parti a e b così ottenute sono tra loro in rapporto aureo, così come la parte più piccola con la differenza tra le due parti:
Dato un segmento di lunghezza 1, la sezione aurea può essere rappresentata algebricamente con la seguente proporzione:
che, dopo alcuni passaggi, può essere riscritta come:
Questa equazione ha un'unica soluzione positiva:
Φ è inoltre l'unità fondamentale del campo numerico algebrico ed è un numero di Pisot-Vijayaraghavan.
La sezione aurea ha interessanti proprietà se utilizzata come base di un sistema di numerazione.
Φ può essere espresso come frazione continua:
Il rettagolo aureo, i cui lati a e b sono in proporzione aurea, è illustrato più sotto:
+-------------+--------+ -
| | | .
| | | .
| B | A | b
| | | .
| | | .
| | | .
+-------------+--------+ -
|......b......|..a-b...|
Se da questo rettagolo eliminiamo il quadrato B di lato b, il restante rettagolo A è a sua volta un rettangolo aureo. Infatti il rapporto tra i suoi lati
La costante φ appare spesso in geometria, soprattutto nelle figure che richiamano la simmetria pentagonale.
Per esempio, il rapporto tra il lato e la diagonale di un pentagono regolare è uguale a φ, e i vertici di un icosaedro regolare sono disposti su tre rettangoli aurei ortogonali.
La sezione aurea emerge in natura come risultato della dinamica di alcuni sistemi. E' stato ritrovato, tra l'altro, nella struttura delle conchiglie, nella dimensione delle foglie, nella distribuzione dei rami negli alberi, nella disposizione dei semi di girasole, e nel corpo umano.
Per esempio, è possibile ottenere un girasole disegnando i punti della funzione
Nell'antichità , gli egizi e i greci conoscevano già questo numero. Lo avevano scoperto in natura, e lo utilizzarono nell'arte, in architettura e nella filosofia. I greci pensavano che il rapporto aureo rappresentasse la proporzione "ideale" tra parti del corpo come il viso e il torso, o tra gli arti e il corpo intero. La sezione aurea fu perciò usata come guida per riprodurre accuratamente il corpo umano nella pittura e nella scultura.
Vista la sua diffusione in natura, veniva considerato esticamente piacevole e di buon auspicio, perciò veniva usato anche per le creazioni umane. Diversi dipinti sono stati composti secondo la sezione aurea; edifici, giardini e monumenti sono stati progettati con rettangoli aurei (per esempio il Partenone di Atene e la Grande Piramide a Giza).
Anche il pentagramma caro ai pitagorici contiene la sezione aurea.
La sezione aurea continua ad essere utilizzata nel design, e studi recenti mostrano che continua ancora a giocare un ruolo importante nella nostra percezione della bellezza.Derivazione da una frazione continua
Si tratta della frazione continua più semplice, perchè formata soltanto da unità , ma è anche quella che comporta l'approssimazione più lenta. Per questo Φ viene detto il numero "più irrazionale" o l'"ultimo numero irrazionale". Derivazione da radici nidificate
La sezione aurea fino al 1024° decimale
1.6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576
2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374
8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766
7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788
0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963
1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364
8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221
2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788
3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053
1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710
1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834
7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764
8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115
8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131
7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596
1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175
3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093
9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264
7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149
9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362
1076738937 6455606060 5921...
In geometria
"La geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora; l' altro è la sezione aurea di un segmento. Il primo lo possiamo paragonare ad un oggetto d'oro; il secondo lo possiamo definire un prezioso gioiello. "
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Iterando questo procedimento, si ottiene una serie di rettangoli aurei sempre più piccoli. Tracciando un quarto di cerchio in ogni quadrato scartato, si ottiene una figura che assomiglia alla spirale logaritmica θ = (π/2log(φ)) * log r.
La spirale verde è il risultato della costruzione descritta sopra, la spirale rossa è la vera spirale logaritmica. E' evidente la somiglianza tra le due. (In alcuni tratti l'immagine può apparire come un'unica spirale gialla, ma in realtà si tratta di due spirali distinte.)In natura e nell'arte
