Statistica di Fermi-Dirac

In termodinamica statistica, la statistica di Fermi-Dirac determina la distribuzione statistica dei fermioni negli stati di energia , per un sistema in equilibrio termico. I fermioni sono particelle indistinguibili che obbediscono al principio di esclusione di Pauli, ovvero, non possono occupare lo stesso stato quantico di un'altro fermione. La termodinamica statistica viene usata per descrivere il comportamento di grandi quantità di particelle. Un'insieme di fermioni non interagenti è detta gas di Fermi.

La statistica di Fermi-Dirac (o statistica F-D) è strettamente collegata alla statistica di Maxwell-Boltzmann e alla statistica di Bose-Einstein. Mentre la statistica F-D vale per i fermioni, la statistica B-E gioca lo stesso ruolo per i bosoni, l'altra famiglia di particelle riscontrabili in natura. La statistica M-B descrive la velocità di distribuzione delle particelle in un gas classico e rappresenta il classico limite (di alta temperatura) delle statistiche F-D e B-E. la statistica M-B è particolarmente utile nello studio dei gas, la B-E nello studio dei fotoni e di altri bosoni. La statistica F-D viene spesso usata per lo studio degli elettroni nei solidi. Come tali, esse formano la base per la teoria dei semiconduttori e dell'elettronica. L'invenzione della meccanica quantistica quando applicata attraverso la statistica F-D, ha reso possibile scoperte come quella del transistor. Per questo motivo la statistica F-D è ben conosciuta, non solo dai fisici, ma anche dagli ingegneri elettrici.

La statistica di Fermi-Dirac venne introdotta nel 1926 da Enrico Fermi e Paul Dirac ed applicata nel 1927 da Arnold Sommerfeld agli elettroni nei metalli.

Sviluppo concettuale

Si suppongano due fermioni posti in un sistema con quattro livelli. esistono sei possibili disposizioni di tale sistema, che sono mostrate nel diagramma sottostante.

   ε1   ε2   ε3   ε4
A  *    *
B  *         *
C  *              *
D       *    *
E       *         *
F            *    *

Ognuna di queste disposizioni è detta microstato del sistema. E' un postulato fondamentale della fisica statistica che in equilibrio termico, ognuno di questi micorstati sia egualmente soggetto ai vincoli imposti dell'energia totale e del numero di particelle conosciute.

A seconda dei valori di energia per ogni stato, può essere che l'energia totale di una di queste sei combinazioni sia pari alle altre. In effetti, se si assume che le energie siano multiple di un dato valore ε, l'energia di ognuno dei sei microstati diventa:

A: 3ε
B: 4ε
C: 5ε
D: 5ε
E: 6ε
F: 7ε

Quindi, conoscendo che il sistema ha energia pari a 5ε, si può concludere che si torvi nello stato C o D. Si noti che se le particelle fossero distinguibili (il caso classico), i microstati sarebbero dodici e non sei.

La funzione di distribuzione di Fermi-Dirac

Usando argomenti come questo, la distribuzione dei fermioni in un sistema a più livelli può essere calcolata. Sfortunatamente, questa distribuzione implica la manipolazione di fattoriali di numeri molto grandi. Comunque, usando la formula di Stirling, è possibile produrre una forma matematica ragionevole, con una perdita di precisione accettabile, almeno alla scala su cui la statistica di Fermi-Dirac viene normalmente applicata.

La formula viene data di seguito solo come riferimento: una completa spiegazione diderivate, simboli e applicazione va oltre lo scopo di questo articolo. Si noti che questa è solo una delle forme della funzione – viene spesso espressa come un integrale sullo spazio dei momenti.

dove:

N_j è il numero delle particelle nello stato j

g_j è la degenerazione dello stato j

exp è la funzione esponenziale

ε_j i è l'energia dello stato j

μ è il potenziale chimico. Talvolta viene usata l'energia di Fermi E_F, come approssimazione per le basse temperature.

k_B è la costante di Boltzmann

T é la temperatura assoluta.

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