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Analisi della varianza

L'analisi della varianza Ŕ un insieme di tecniche statistiche facenti parte della statistica inferenziale che permettono di confrontare due o pi¨ gruppi di dati confrontando la variabilit├á interna a questi gruppi con la variabilit├á tra i gruppi.

L'ipotesi nulla solitamente prevede che i dati di tutti i gruppi abbiano la stessa origine, ovvero la stessa distribuzione stocastica, e che le differenze osservate tra i gruppi siano dovuti solo al caso.

Si usano queste tecniche quando le variabili esplicative sono di tipo nominale. Nulla impedisce di usare queste tecniche anche in presenza di variabili esplicative di tipo ordinale o continuo, ma in tal caso sono meno efficienti delle tecniche alternative (p.es.: regressione lineare).

Il confronto si basa sull'idea che se la variabilit├á interna ai gruppi Ŕ relativamente elevata rispetto alla variabilit├á tra i gruppi, allora probabilmente la differenza tra questi gruppi Ŕ soltanto il risultato della variabilit├á interna.

Il pi¨ noto insieme di tecniche si basa sul confronto della varianza e usa variabili di test distribuite come la F di Snedecor.

Le diverse tecniche vengono suddivise a seconda se il modello prevede

  • una sola causa: p.es.: il gradimento di un cibo dipende dal colore del medesimo
  • pi¨ di una causa: p.es.: il successo scolastico dipende sia dal genere (maschi,femmine) che dallo sport praticato (calcio, tennis, box,...)
  • iterazione tra pi¨ cause: p.es.: la velocit├á di guarigione dipende da due farmaci, i quali per├▓ si annullano (o rinforzano) a vicenda

Esempio di Analisi della varianza semplice

Il modello prevede che
xij = μ + αi + εij

L'ipotesi nulla prevede che i valori osservati derivino da una distribuzione gaussiana con stessa
media μ e stessa varianza e che αi sia uguale per tutti i gruppi (e pertanto nullo).

I dati osservati nei quattro gruppi, che chiamerremo A, B, C e D, di uguale numerosità (per semplificare l'esempio), sono:
jABCD
1 0,72 0,75 0,68 0,78
2 0,69 0,85 0,70 0,86
3 0,71 0,82 0,67 0,87
4 0,70 0,80 0,65 0,84
5 0,68 0,88 0,70 0,85

Siano adesso

  • SSQa: la somma degli scarti quadratici delle medie dei singoli gruppi (mi) dalla media generale m
  • SSQe: la somma degli scarti quadratici dei singoli valori xij rispetto alla media mi del gruppo a cui appartengono
  • SSQtot: la somma degli scarti quadratici di tutti singoli valori rispetto alla media generale m

Ovvero:
m = 1/n ΣiΣjxij
mi = 1/ni Σjxij
SSQa = Σini(mi-m)²
SSQe = ΣiΣj(xij-m)²
SSQtot = Σini(xij-m)² = SSQe + SSQa

La variabile test diventa
    SSQa/(k-1) 
T = ---­---­---
    SSQe/(n-k)
dove
k Ŕ il numero di gruppi (nel nostro esempio: k=4)
ni la numerosità dei singoli gruppi (nel nostro caso ni=5 per tutti)
n = Σini, ovvero il numero complessivo di casi osservati

Nel nostro esempio si ottiene che:

SSQtot =0,1176
SSQa = 0,1000
SSQe = 0,0176
e pertanto
     0,1000 / (4-1)    0,1000·16  
T = ---­---­---­---­--- = ---­---­--- = 30,30
     0,0176 / (20-4)   0,0176·3
tale valore viene confrontato con i valori dei una v.c. F di Snedecor con 3 e 16 gradi di libert├á. Se si accetta una percentuale di falsi positivi del 5%=(100-95)% tale valore Ŕ
F( 0,95 ; 3 ; 16 ) = 3,24
pertanto, essendo 30,3 >> 3,24 si rigetta l'ipotesi nulla che prevedeva l'assenza di effetti e si afferma che molto probabilmente almeno uno dei quattro gruppi Ŕ diverso dagli altri. Forse tutti i gruppi sono diversi uno dall'altro, forse solo uno di loro.

Un test (proposto per la prima volta da Ronald Fisher) permette di determinare la pi¨ piccola differenza significativa tra la media di due gruppi, confrontandoli uno ad uno.

Tale differenza Ŕ pari a

t( 0,05/2 ; n-k ) * √(SSQe(1/np+1/nq))


Vedi anche:


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