Funzione continua

Quello di continuità di una funzione, � un concetto basilare della matematica moderna. Esistono diverse definizioni di continuità, corrispondenti ai contesti matematici in cui vengono utilizzate; la definizione pi� generale, dalla quale tutte le altre si possono far discendere, viene data nel contesto della topologia.

Definizione globale: Dati due spazi topologici X e Y, una funzione f:X --> Y si dice continua su X se la controimmagine di ogni insieme aperto in Y � un insieme aperto in X.

Definizione locale: siano X e Y due spazi topologici e x un punto di X; una funzione f:X --> Y si dice continua in x se la controimmagine di ogni intorno di f(x) � un intorno di x.

La relazione tra le due definizioni � data dal seguente teorema:

Una funzione f:X --> Y � continua su X se e solo se � continua in ogni punto di X.

Infatti, se f � continua su X e x un punto di X, la controimmagine di ogni intorno aperto di f(x) � un aperto di X contenente x, � quindi un intorno di x. Viceversa, se f � continua in ogni punto di X e M � un aperto di Y, possiamo avere due casi: 1) la controimmagine di M � l'insieme vuoto (se M non contiene punti dell'immagine di f) ed � quindi un aperto, 2) M contiene un punto f(x), � quindi un intorno di quel punto e la sua controimmagine � un intorno di X, quindi un aperto.

Nel caso di una funzione definita sull'insieme dei numeri reali, si può dare la seguente definizione:

Una funzione y = f(x) � continua in un punto c del suo dominio, se esistono finiti i limiti destro e sinistro per x tendente a c di f(x) e tali valori sono uguali a quello che la funzione assume in c.

Un punto che non goda di queste caratteristiche si chiama punto di discontinuità.

vedi anche:

matematica, analisi matematica

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