N fattoriale
In matematica, se n è un intero positivo, si definisce n fattoriale l'intero positivo denotato n! ottenibile come
Per definizione si chiede poi che . Questa richiesta si accorda con la richiesta che il prodotto di zero fattori, il cosiddetto prodotto vuoto, come la potenza nulla di un intero positivo, sia uguale ad 1. Questa scelta si rivela molto utile, in quanto consente di considerare valide varie formule anche quando alcuni loro fattori hanno la forma 0!. Si potrebbe quindi partire dalla definizione
| 0! | 1! | 2! | 3! | 4! | 5! | 6! | 7! | 8! | 9! | 10! | 11! | 12! |
| 1 | 1 | 2 | 6 | 24 | 120 | 720 | 5040 | 40320 | 362880 | 3628800 | 39916800 | 479001600 |
La rapida crescita con n del valore di n! può risultare stupefacente e questo ha condotto Christian Kramp nel 1807 ad adottare la notazione con il punto esclamativo.
La sequenza dei fattoriali compare nella On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS, come sequenza A000142.
| Table of contents |
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2 Varianti e Generalizzazioni 3 Valutazione numerica dei fattoriali |
I fattoriali innanzitutto sono importanti nella combinatorica. In particolare vi sono n! diverse sequenze formate da n oggetti distinti, cioè vi sono n! permutazioni di n oggetti; i fattoriali quindi enumerano le permutazioni.
Data l'importanza delle permutazioni, segue che i fattoriali si incontrano in numerosissime espressioni. Ad es., rimanendo nella combinatorica, il numero di scelte di k oggetti fra quelli che costituiscono un insieme di n elementi, cioè il numero dei sottoinsiemi di k elementi di un dato insieme di n oggetti, è dato da un cosiddetto coefficiente binomiale
I fattoriali si incontrano anche nel calcolo infinitesimale: innanzi tutto va osservato che la n-esima derivata di xn è n!; una conseguenza di questo fatto è il teorema di Taylor che esprime una funzione f(x) come serie di potenze nella x servendosi dei fattoriali e dei valori delle derivate. I fattoriali si incontrano spesso anche nelle espressioni delle funzioni speciali, nell'analisi numerica, nel calcolo delle probabilità , nella meccanica statistica e nella meccanica quantistica.
I fattoriali vengono spesso utilizzati nell'insegnamento dell'informatica per fornire il primo esempio di calcolo ricorsivo grazie alla relazione
Il fattoriale presenta numerose varianti e generalizzazioni. Tra le prime il multifattoriale (per un caso del quale si usa anche il termine di semifattoriale), il fattoriale crescente, il fattoriale decrescente. Tra le generalizzazioni discrete l'iperfattoriale e il superfattoriale. È interessante osservare che molte varianti e generalizzazioni sono le funzioni enumerative di insiemi di strutture che costituiscono varianti e generalizzazioni delle permutazioni e quindi sono funzioni naturali, non solo funzioni introdotte per semplificare notazioni e calcoli.
Si deve inoltre tenere presente la funzione Gamma, funzione analitica definibile mediante l'integrale
Per essa si dimostrano facilmente le proprietÃ
Il valore numerico di n! può essere calcolato mediante ripetute moltiplicazioni fino ad un valore non eccessivo di n; questo è quello che fanno le calcolatrici odierne. Al di sopra di un certo n lo strumento di calcolo in uso cessa di dare risultati sensati per overflows dei registri per i valori numerici. Ad es. una calcolatrice capace di operare su 100 cifre decimali riesce a calcolare 69!, ma non il fattoriale successivo, in quanto 70! > 10100. Limite analogo si incontra quando si utilizzano i numeri reali ordinari con un linguaggio procedurale come C o Java. Volendo valutare esattamente fattoriali superiori con questi linguaggi si devono utilizzare routines che trattano gli interi con sequenze di variabili intere normali. In alternativa si utilizzano sistemi computazionali come Maple o Mathematica che permettono di trattare interi grandi quanto si vuole.
Quando n è molto grande in genere non serve conoscere il valore preciso di n! e può essere sufficiente stimarlo con una opportuna accuratezza. Per questo scopo in genere si usa la approssimazione di Stirling data da:
Vi sono poi elaborazioni che si servono di fattori dati da fattoriali di grandi numeri come valori intermedi, ma che alla fine portano a numeri non eccessivamente grandi. In questi casi può essere opportuno effettuare i calcoli intermedi servendosi di valori approssimati dei logaritmi dei fattoriali. Ad es. per calcolare un coefficiente binomiale si potrebbe usare la formula
È disponibile in linea una calcolatrice di fattoriali di facile uso.
Vedi anche:
Applicazioni
Varianti e Generalizzazioni
Essa dunque estende la funzione fattoriale definita sugli interi naturali all'intero campo complesso (con la sola eccezione degli interi negativi):
Valutazione numerica dei fattoriali
