Lagrangiana

La lagrangiana di un sistema dinamico è un funzionale delle variabili dinamiche che descrive concisamente le equazioni del moto del sistema, che si ottengono attraverso il principio di minima azione, scritto come

dove

,

definisce l'azione del sistema, con che denota l'insieme dei suoi parametri dinamici.

Le equazioni del moto ottenute per mezzo della derivata funzionale sono identiche alle usuali equazioni di Eulero-Lagrange: un sistema dinamico le cui equazioni del moto siano ottenibili applicando il principio di minima azione su una determinata lagrangiana è definito sistema dinamico Lagrangiano. Esempi di tali sistemi dinamici vanno dalle leggi del moto al Modello standard, a problemi puramente matematici come le equazioni geodesiche e il problema di Plateau.

Table of contents

1 Un esempio dalla meccanica classica 2 Formalismo matematico 3 Vedi anche

Un esempio dalla meccanica classica

Il concetto di Lagrangiana fu introdotto in origine in una riformulazione della meccanica classica nota come meccanica Lagrangiana: in questo contesto la lagrangiana è normalmente data dalla differenza fra l'energia cinetica e l'energia potenziale di un sistema meccanico.

Supponiamo di avere uno spazio tridimensionale e la lagrangiana

Allora l'equazione di Eulero-Lagrange è

dove la derivata rispetto al tempo è scritta convenzionalmente come un punto sopra la quantità che viene derivata.

Sfruttando il risultato sopra, possiamo mostrare facilmente che l'approccio di Lagrange è equivalente a quello newtoniano, scrivendo la forza in termini di potenziale:

quindi l'equazione risultante è

esattamente la stessa equazione in un approccio newtoniano per un oggetto di massa costante; una deduzione molto simile a questa ci dà l'espressione

che è la Seconda Legge di Newton nella sua forma generale.

Supponiamo, ora, di avere uno spazio tridimensionale espresso in coordinate sferiche r, θ, φ; la forma della lagrangiana allora sarà

La corrispondente equazione di Eulero-Lagrange è:

Qui l'insieme di parametri dinamici s_i sono ridotti al solo il tempo t, mentre le variabili dinamiche φ(s) sono le traiettorie delle particelle scritte in coordinate polari.

Formalismo matematico

Supponiamo di avere una varietà n-dimensionale M e una varietà "bersaglio" T. Sia lo spazio delle configurazioni delle funzioni regolari da M a T.

Prima di continuare diamo alcuni esempi:

• Nella meccanica classica, M è la varietà monodimensionale , che rappresenta il tempo, e lo spazio bersaglio è il legamento tangente dello spazio delle posizioni generalizzate.
• Nela teoria dei campi, M è la varietà spaziotempo e lo spazio bersaglio è l'insieme di valori che il campo può assumere in un qualunque punto dato; per esempio, se ci sono m campi scalari a valori reali, φ₁,...,φ_m, allora la varietà bersaglio è . Se il campo è un campo vettore reale, allora la varietà bersaglio è isomorfa a . Ci sarebbe un modo molto più elegante usando il legamento tangente su M, ma ci atterremo a questa versione.

Ora, supponiamo esista un funzionale, , detto azione. Si noti che questo sarebbe una mappatura su , non su , per motivi fisici.

Affinchè l'azione sia locale, è necessario imporre ulteriori restrizioni sull'azione. Se , noi assumiamo che S(φ) sia l'integrale su M di una funzione di φ, la sua derivata, e che la posizione sia chiamata lagrangiana, . In altre parole,

.

La maggior parte delle volte noi assumeremo anche che la lagrangiana dipenda soltanto dal valore del campo e dalla sua derivata prima, ma non dalle altre: tuttavia questo non è vero in generale, ma solo una questione di convenienza. Manterremo questa assunzione per tutto il resto di questo articolo.

Date le condizioni al contorno, sostanzialmente specificando il valore di φ al bordo di M, se questo è compatto o fornendo alcuni limiti su φ quando x tende all'infinito (questo ci aiuterà nell'integrazione per parti), possiamo denotare il sottoinsieme di che consiste di funzioni φ tali che tutte le derivate funzionali di S su φ sono nulle e φ soddisfa le condizioni al contorno date.

La soluzione è fornita dalle equazioni di Eulero-Lagrange (grazie alle condizioni al contorno)

.

Casualmente il membro sinistro è il negativo della derivata funzionale dell'azione rispetto a φ.

Vedi anche

• Meccanica lagrangiana
• Teorema di Noether
• Hamiltoniana
• Derivata funzionale
• Integrale funzionale
• principio d'azione

Fisica

Progetto Fisica | Portale Fisica

---

|