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Lagrangiana

La lagrangiana di un sistema dinamico è un funzionale delle variabili dinamiche che descrive concisamente le equazioni del moto del sistema, che si ottengono attraverso il principio di minima azione, scritto come

dove

,

definisce l'azione del sistema, con che denota l'insieme dei suoi parametri dinamici.

Le equazioni del moto ottenute per mezzo della derivata funzionale sono identiche alle usuali equazioni di Eulero-Lagrange: un sistema dinamico le cui equazioni del moto siano ottenibili applicando il principio di minima azione su una determinata lagrangiana è definito sistema dinamico Lagrangiano. Esempi di tali sistemi dinamici vanno dalle leggi del moto al Modello standard, a problemi puramente matematici come le equazioni geodesiche e il problema di Plateau.

Table of contents
1 Un esempio dalla meccanica classica
2 Formalismo matematico
3 Vedi anche

Un esempio dalla meccanica classica

Il concetto di Lagrangiana fu introdotto in origine in una riformulazione della meccanica classica nota come meccanica Lagrangiana: in questo contesto la lagrangiana è normalmente data dalla differenza fra l'energia cinetica e l'energia potenziale di un sistema meccanico.

Supponiamo di avere uno spazio tridimensionale e la lagrangiana

Allora l'equazione di Eulero-Lagrange è

dove la derivata rispetto al tempo è scritta convenzionalmente come un punto sopra la quantità che viene derivata.

Sfruttando il risultato sopra, possiamo mostrare facilmente che l'approccio di Lagrange è equivalente a quello newtoniano, scrivendo la forza in termini di potenziale:

quindi l'equazione risultante è

esattamente la stessa equazione in un approccio newtoniano per un oggetto di massa costante; una deduzione molto simile a questa ci dà l'espressione

che è la Seconda Legge di Newton nella sua forma generale.

Supponiamo, ora, di avere uno spazio tridimensionale espresso in coordinate sferiche r, θ, φ; la forma della lagrangiana allora sarà

La corrispondente equazione di Eulero-Lagrange è:

Qui l'insieme di parametri dinamici si sono ridotti al solo il tempo t, mentre le variabili dinamiche φ(s) sono le traiettorie delle particelle scritte in coordinate polari.

Formalismo matematico

Supponiamo di avere una varietà n-dimensionale M e una varietà "bersaglio" T. Sia lo spazio delle configurazioni delle funzioni regolari da M a T.

Prima di continuare diamo alcuni esempi:

  • Nella meccanica classica, M è la varietà monodimensionale , che rappresenta il tempo, e lo spazio bersaglio è il legamento tangente dello spazio delle posizioni generalizzate.
  • Nela teoria dei campi, M è la varietà spaziotempo e lo spazio bersaglio è l'insieme di valori che il campo può assumere in un qualunque punto dato; per esempio, se ci sono m campi scalari a valori reali, φ1,...,φm, allora la varietà bersaglio è . Se il campo è un campo vettore reale, allora la varietà bersaglio è isomorfa a . Ci sarebbe un modo molto più elegante usando il legamento tangente su M, ma ci atterremo a questa versione.

Ora, supponiamo esista un funzionale, , detto azione. Si noti che questo sarebbe una mappatura su , non su , per motivi fisici.

Affinchè l'azione sia locale, è necessario imporre ulteriori restrizioni sull'azione. Se , noi assumiamo che S(φ) sia l'integrale su M di una funzione di φ, la sua derivata, e che la posizione sia chiamata lagrangiana, . In altre parole,

.

La maggior parte delle volte noi assumeremo anche che la lagrangiana dipenda soltanto dal valore del campo e dalla sua derivata prima, ma non dalle altre: tuttavia questo non è vero in generale, ma solo una questione di convenienza. Manterremo questa assunzione per tutto il resto di questo articolo.

Date le condizioni al contorno, sostanzialmente specificando il valore di φ al bordo di M, se questo è compatto o fornendo alcuni limiti su φ quando x tende all'infinito (questo ci aiuterà nell'integrazione per parti), possiamo denotare il sottoinsieme di che consiste di funzioni φ tali che tutte le derivate funzionali di S su φ sono nulle e φ soddisfa le condizioni al contorno date.

La soluzione è fornita dalle equazioni di Eulero-Lagrange (grazie alle condizioni al contorno)

.

Casualmente il membro sinistro è il negativo della derivata funzionale dell'azione rispetto a φ.

Vedi anche


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