Spaziotempo

Per Spaziotempo, (indicato anche come spazio-tempo o cronotopo) si intende uno spazio quadridimensionaledimensionale, composto dall'usuale spazio a 3 dimensioni con il tempo come coordinata aggiunta.

Ogni evento dello spazio così costruito � indicato da quattro coordinate (t, x, y, z), o alternativamente, in dipendenza con il tipo di sistema oggetto di studio, da (t, r, θ, φ), ovvero il tempo pi� le così dette coordinate angolari.

Table of contents

1 I concetti di spazio e tempo
2 La trasformazione di Galileo
3 La trasformazione di Lorentz

3.1 Definizione matematica di spazio-tempo
3.2 Le trasformazioni

4 Lo spaziotempo � quantizzato?

I concetti di spazio e tempo

Fino alla Teoria della Relatività di Einstein (speciale e generale), mentre il tempo era concepito come assoluto e spesso distaccato dal mondo fisico, lo spazio era regolato dalla geometria euclidea. In tale geometria, l'invariante fondamentale � la distanza:

Δs² = Δx² + Δy² + Δz²

ovvero questa grandezza � covariante rispetto alle trasformazioni cartesiane:

dove δ_{α β} � la delta di Kroenecker. In parole semplici, nella geomentria euclidea pre-relativistica la lunghezza di un oggetto non cambia quando questo si sposta nello spazio.

La trasformazione di Galileo

Nello spazio fisico tutte le direzioni spaziali sono equivalenti. Per quel che riguarda il moto, il discorso � un pò pi� complesso.

Esistono differenti sistemi di riferimento, ovvero scelte di assi di coordinate, che possono essere in moto relativo uno rispetto all'altro. La domanda � quindi: come variano le equazioni che regolano il moto al passaggio da un sistema ad un altro?

Per rispondere si prende in considerazione un caso estremamente semplice: si considera un sistema inerziale K, ovvero un sistema in cui le leggi della fisica sono espresse nella forma pi� semplice, e un sistema K' che, senza ruotare, si muove di moto uniforme rispetto a K - anche K' potrà, quindi, essere considerato sistema inerziale.

Per scrivere le trasformazioni, si partiva da 2 assiomi fondamentali:

il tempo � assoluto, ovvero il tempo t' misurato rispetto a K' � il medesimo di quello t misurato in K e relativo al medesimo evento;
la lunghezza � assoluta: un intervallo s in quiete, rispetto a K, ha la stessa lunghezza di s misurato in K', in moto rispetto a K.

Ponendo gli assi dei due sistemi paralleli � semplice determinare la così detta trasformazione di Galileo:

da cui � semplice ricavare che:

e per la distanza tra due punti differenti:

x'_ν⁽¹⁾ - x'_ν⁽²⁾ = x_ν⁽¹⁾ - x_ν⁽²⁾

La trasformazione di Lorentz

Alla prova dei fatti dali trasformazioni rimasero valide per molto tempo, almeno fino agli studi sull'elettromagnetismo e le equazioni di Maxwell.

Tale sistema di equazioni spiega completamente l'elettromagnetismo e pone le basi per l'assioma centrale della relatività: la costanza della velocità della luce in qualsiasi sistema di riferimento. Infatti sia le equazioni, sia gli esperimenti (di A.A.Michelson ed E.W.Morley) che la luce ha un certo valore, c, considerato invalicabile per qualsiasi velocità.

Il problema, si diceva, fu quando si scoprì che tale equazioni non erano invarianti sotto le trasformazioni di Galileo. A quel punto, giustamente, si lavorò per determinare delle nuove trasformazioni rispetto alle quali le equazioni di Maxwell, certamente leggi valide in qualsiasi sistema di riferimento, fossero invarianti.

Definizione matematica di spazio-tempo

Come detto, l'usuale spazio euclideo può essere definito a partire dall'invariante della distanza:

Δs² = Δx'\'² + Δy² + Δz''²

Con gli assiomi della relatività eisnteniana, e in particolare con l'assunto della costanza della velocità della luce, ad essere invariante �, a questo punto, la distanza percorsa dalla luce in un detto intervallo temporale Δt:

s = c Δt

e quindi

s² = Δx² + Δy² + Δz² = c²Δt²

I nuovi vettori, che fanno parte di uno spazio a quattro dimensioni, sono quindi tali per cui:

Δx² + Δy² + Δz² - c²Δt² = 0

Si possono, quindi, utilizzare due convenzioni: o si assegna il segno positivo al quadrato del tempo e quello negativo a quello dei vettori spaziali, o viceversa; l'importante � che i due quadrati, temporale e spaziale, siano opposti in segno, ovvero che uno dei due venga considerato immaginario.

Le trasformazioni

Le trasformazioni di Lorentz propriamente dette sono un sistema di equazioni che, inserendo la velocità della luce c, danno il modo corretto in cui cambia il moto in un sistema di riferimento in moto rispetto ad uno fisso. Le pi� semplici trasformazioni sono quelle in cui il moto di un sistema si sviluppa solo ed esclusivamente lungo un asse particolare, ad esempio quello x:

Sono queste trasformazioni che fanno sì che le equazioni di Maxwell restino invarianti in qualsiasi sistema di riferimento vengono applicate.

Lo spaziotempo � quantizzato?

La ricerca attuale � concentrata sulla natura dello spaziotempo alla scala di Planck. La Teoria della gravità a loop, la teoria delle stringhe e la termodinamica dei buchi neri predicono tutte uno spaziotempo quantizzato, con accordo sull'ordine di magnitudine. La teoria della gravità a loop fa addirittura delle predizioni precise sulla geometria dello spaziotempo alla scala di Planck.