Teoria quantistica dei campi
La Teoria quantistica dei campi (in inglese Quantum field theory o QFT) � l'applicazione della meccanica quantistica ai campi. Essa fornisce un sistema di riferimento ampiamente usato in fisica delle particelle e in fisica della materia condensata. In particolare, la teoria quantistica del campo elettromagnetico, conosciuta come elettrodinamica quantistica, � una delle teorie pi� testate e di successo della fisica. I fondamenti della teoria quantistica dei campi furono sviluppati tra i tardi anni '20 e gli anni '50, principalmente da: Dirac, Pauli, Tomonaga, Schwinger, Feynman, and Dyson.
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2 Campi quantistici 3 Assiomi di Wightman |
Imperfezioni della meccanica quantistica ordinaria
La teoria quantistica dei campi corregge molte inprecisioni della meccanica quantistica ordinaria, che discuteremo brevemente. L'equazione di Schrödinger, nella sua forma pi� comune �
Ci sono due problemi associati a questa equazione. In primo luogo non � relativistica, il limite di corrispondenza � ridotto alla meccanica classica piuttosto che a quella relativistica. Ciò � visibile se notiamo che il primo termine a sinistra rappresenta solamente l'energia cinetica classica p²/2m, mentre l'energia a riposo mc² viene omessa. E' possibile modificare l'equazione di Schrödinger per includere l'energia a riposo, ottenendo l' equazione di Klein-Gordon o l'equazione di Dirac. Comunque, queste equazioni hanno molti aspetti insoddisfacenti; ad esempio, possiedono uno spettro energetico che si estende fino a -∞, e quindi non esiste uno stato fondamentale. Queste inconsistenze si ottengono poich� queste equazioni non considerano la possibilità di creare o distruggere dinamicamente delle particelle, che � un aspetto cruciale della relatività. La famosa relazione massa-energia di Einstein prevede che particelle sufficentemente grandi possano decadere in particelle pi� leggere, e particelle sufficentemente energetiche, possano combinarsi a formare particelle grandi. Ad esempio, un elettrone e un positrone possono annichilirsi a vicenda per creare due fotoni. Questi processi devono essere tenuti in considerazione in un a teoria quantistica veramente relativistica.
Il secondo problema si ha quando cerchiamo di estendere l'equazione a grandi numeri di particelle. Particelle identiche sono indistinguibili le une dalle altre (dato che non � possibile conoscerne in modo preciso posizione e velocità allo stesso momento), per cui la funzione d'onda dell'intero sistema deve essere simmetrica (bosoni) o antisimmetrica (fermioni) quando le coordinate delle particelle costituenti vengono scambiate. Questo rende la funzione d'onda di sistemi a molte particelle estremamente complicata. Ad esempio, la funzione d'onda generale di un sistema di N bosoni si scrive come
Campi quantistici
(La teoria quantistica dei campi, � spesso formulata in termini di una Lagrangiana, che � pi� comoda da manipolare. Ad ogni modo si ritiene che la formulazione Lagrangiana e Hamiltoniana siano equivalenti).Nella seconda quantizzazione, facciamo uso dell'indistinguibilità delle particelle, specifcando una funzione d'onda di pi� particelle, in termini di numero di occupazione della singola particella. Ad esempio, si supponga di avere un sistema con N bosoni che possono occupare vari stati della singola particella: φ1, φ2, φ3, e così via. Il metodo usuale di scrivere una funzione d'onda per pi� particelle � quello di assegnare uno stato ad ogni particella e quindi imporre una simmetria di scambio. Come abbiamo visto, la funzione d'onda risultante � una poco maneggevole somma di N! termini. Nell'approccio della seconda quantizzazione, elenchiamo semplicemente il numero di particelle in ognuno degli stati della singola particella, ben sapendo che la funzione d'onda per pi� particelle � simmetrica. Per essere precisi, supponiamo che N = 3, con una particella nello stato φ1 e due nello stato φ2. Il modo normale di scrivere la funzione d'onda �
Infine, introduciamo gli "operatori di campo", che definiscono la probabilità di creare o distruggere una particella in un particolare punto dello spazio. si scopre che le funzioni d'onda della singola particella sono normalmente enumerate in termini della loro quantità di moto (come nel problema della particella in scatola), cosicch� gli operatori di campo possono essere costruiti applicando delle trasformate di Fourier agli operatori di creazione ed annichilazione. Ad esempio, l'operatore di annichilazione del campo bosonico φ(r) (che non va confuso con la funzione d'onda) �
Assiomi di Wightman
Sono uno dei molti tentativi di dare una solida base matematica alla teoria quantistica dei campi.Si veda assiomi di Wightman.
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