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Glossario di teoria dei gruppi

Questa pagina è dedicata ad un glossario di teoria dei gruppi che vuole anche aiutare, insieme alla pagina della Categoria:Teoria dei gruppi, a muoversi tra gli articoli afferenti a tale settore della matematica.

Un gruppo è un insieme munito di una operazione associativa dotata di elemento neutro e tale che ogni elemento possiede un inverso. Gruppi molto importanti sono costituiti da trasformazioni; altri gruppi che si incontrano spesso sono costituiti da insiemi numerici muniti della moltiplicazione. In genere l'operazione di un gruppo viene chiamata prodotto e il suo elemento neutro viene detto unità o elemento identità. In questo articolo useremo e per denotare l'unità di un gruppo.

Table of contents
1 Definizioni di base
2 Proprietà di base di gruppi e sottogruppi
3 Omomorfismi tra gruppi
4 Strutture di base per i gruppi e operazioni di base sui gruppi
5 Collezioni specifiche di gruppi
6 Componenti di base dei gruppi e loro classificazioni
7 Nozioni di valenza generale
8 Oggetti matematici che contengono o utilizzano un'operazione gruppale
9 Algebra astratta
10 Altre discipline matematiche che fanno gran uso dei gruppi
11 Problemi famosi
12 Applicazioni dei gruppi
13 Maggiori contributori della teoria dei gruppi
14 Visione dei gruppi come formati da permutazioni e gruppi di simmetria
15 Rappresentazioni dei gruppi
16 Teoria dei gruppi computazionale
17 Altri argomenti

Definizioni di base

Ordine di un gruppo (G,*)

Cardinalità del suo insieme sostegno, cioè numero di elementi di G.

Gruppo finito
Gruppo di ordine finito.

Ordine di un elemento
Sinonimo di periodo di un elemento.

Periodo di un elemento x di un gruppo (G,*).
Minimo intero positivo m, se esiste, tale che xm = e. L'ordine di un gruppo finito è divisibile per tutti i periodi dei suoi elementi.

Sottogruppo di un gruppo (G,*)
Sottoinsieme di un gruppo (G,*) chiuso per l'operazione * e per il passaggio all'inverso. Dato un sottoinsieme S di G, si denota <S> il più ridotto dei sottogruppi di G contenenti S.

Sottogruppo normale di un gruppo (G,*).
Sottogruppo H di G tale che per tutti i g in G e gli h in H, anche g*h*g−1 a appartiene ad H.

Reticolo dei sottogruppi di un gruppo
Reticolo completo costituito dalla collezione dei sottogruppi e dalla relazione di inclusione fra insiemi.

Reticolo dei sottogruppi normali di un gruppo
Reticolo completo costituito dalla collezione dei sottogruppi normali e dalla relazione di inclusione fra insiemi.

Omomorfismo tra i gruppi (G,*) e (H,×)
Funzione f : GH tale che per ogni a e b in G si ha
f(a * b) = f(a) × f(b) .

Nucleo di un omomorfismo tra gruppi
Sottoinsieme del dominio dell'omomorfismo che è controimmagine dell'unità del gruppo codominio dell'omomorfismo. Ogni sottogruppo normale di un gruppo è il nucleo di un omomorfismo tra gruppi e viceversa il nucleo di ogni omomorfismo è sottogruppo normale del gruppo dominio.

Isomorfismo tra gruppi
Omomorfismo tra gruppi dotato di funzione inversa. Anche l'inverso di un isomorfismo è un isomorfismo.

Gruppi isomorfi
Due gruppi si dicono isomorfi se esiste un isomorfismo tra gruppi che trasformi l'uno nell'altro. Due gruppi isomorfi si possono pensare come essenzialmente identici, cioè come due presentazioni della stessa struttura con gli elementi diversamente etichettati. Una delle problematiche fondamentali della teoria dei gruppi è la classificazione dei gruppi a meno di isomorfismi.

Gruppo fattore, o gruppo quoziente di un dato gruppo G per un suo sottogruppo normale N
Gruppo indicato con G/N costituito dall'insieme dei laterali sinistri {aN : aG } munito dell'operazione di prodotto definita da
aN*bN := abN.

Teorema fondamentale sugli omomorfismi
La relazione che intercorre fra sottogruppi di un generico gruppo, i suoi gruppi quoziente e i relativi omomorfismi.

Prodotto diretto di gruppi, somma diretta e prodotto semidiretto di gruppi
Costruzioni che a partire da due (o più) gruppi forniscono nuovi gruppi (v. articoli).

Proprietà di base di gruppi e sottogruppi

  • Teoria dei gruppi elementare
  • Elemento identità
  • Reciproco
  • Sottogruppo
  • Laterale = coset
  • Teorema di Lagrange
  • Teorema di Eulero
  • Sottogruppo normale
  • Gruppo hamiltoniano
  • Sottogruppo caratteristico
  • Sottogruppo di torsione
  • Centralizzatore e normalizzatore
  • Sottogruppo stabilizzatore
  • Centro di un gruppo
  • Commutatore
  • Gruppo derivato
  • Coniugato
  • Classe di coniugio
  • Chiusura di coniugio
  • Nocciolo (gruppo) = core

Omomorfismi tra gruppi

  • Automorfismi
  • Gruppo degli automorfismi
  • Omomorfismo tra gruppi
  • Isomorfismo tra gruppi
  • Gruppo fattore
  • Gruppo quoziente
  • Omomorfismo
  • Automorfismo di ordine
  • Teorema dell'isomorfismo
  • Teorema fondamentale sugli omomorfismi
  • Automorfismo interno
  • Gruppo esterno degli automorfismi

Strutture di base per i gruppi e operazioni di base sui gruppi

  • Insieme generatore di un gruppo
  • Teorema di Sylow
  • Prodotto di gruppi
  • Prodotto diretto
  • Somma diretta
  • Somma diretta di gruppi
  • Somma sottodiretta
  • Prodotto semidiretto
  • estensione di un gruppo
  • Estrensione centrale
  • Coomologia di gruppo
  • Prodotto intrecciato
  • Prodotto libero
  • Gruppo libero
  • Gruppo abeliano libero
  • Presentazione di un gruppo

Collezioni specifiche di gruppi

Gruppo abeliano

Un gruppo (G,*) si dice abeliano se * è commutativo, i.e. se g*h=h*g per ogni g,hG. Viceversa il gruppo si dice non abeliano se la precedente uguaglianza non vale per qualche coppia g,hG.

Gruppo finitamente generato
Gruppo che contiene un insieme finito S tale che <S> = G.

Gruppo ciclico
Gruppo generato da un insieme S costituito da un solo elemento. Un tale gruppo può avere ordine finito (e in particolare ridursi semplicemente a {e}), oppure essere un gruppo ciclico di ordine infinito.

Gruppo ciclico di ordine finito
Gruppo il cui sostegno può assumere la forma {e, g, g2, ... gm-1}. Si ha invece gm=e. In particolare si ha il gruppo ridotto a {e}.

Gruppo ciclico di ordine infinito
Gruppo il cui sostegno può assumere la forma
{..., g-n,..., g-2,g-1, e, g, g2, ... gn, ...}.
Si tratta quindi di un gruppo numerabile isomorfo al gruppo additivo degli interi.

p-gruppo, con p numero primo.

Gruppo avente ordine della forma pm per qualche positivo m.

p-sottogruppo.
Sottogruppo che è anche un p-gruppo.

Teoremi di Silow
Teoremi concernenti i p-sottogruppi.

Gruppo semplice
Gruppo che non contiene sottogruppi normali diversi dal semplice {e} e da se stesso. I gruppi ciclici contenenti un numero primo di elementi sono gruppi semplici con una struttura facilmente descrivibile. Contrariamente a quanto può suggerire la loro qualifica, vi sono gruppi semplici con una struttura estremamente complessa. Un esempio è fornito dal gruppo monster, gruppo di ordine superiore a un milione. Ogni gruppo finito è costruibile prendendo dei gruppi semplici ed operando delle estensioni di gruppi: dunque lo studio e la classificazione dei gruppi semplici finiti è centrale nello studio dei gruppi finiti in generale.

'''Classificazione dei gruppi semplici finiti
Filone di ricerca molto impegnativo condotto da un'agguerrita comunità di matematici nella seconda metà del XX secolo e che ha portato ad individuare tutti i gruppi finiti semplici.

Teorema enorme
Enunciato che presenta tutti i gruppi finiti semplici, cioè risolve il problema della classificazione di tali gruppi. Il nome è dovuto al fatto che la dimostrazione completa richiede sviluppi presentati in una gran quantità di articoli, per un complesso di circa 16000 pagine.

Gruppo finito abeliano
La struttura di un tale gruppo è relativamente semplice; ogni gruppo finito abeliano è la somma diretta di p-gruppi ciclici.

Gruppo abeliano finitamente generato
Lo studio dei gruppi abeliani finiti si estende in una classificazione completa di tutti i gruppi abeliani che possono essere generati da un insieme finito di elementi. La situazione è molto più complicata per i gruppi non-abeliani.

Gruppo libero
Dato un generico insieme A che conviene pensare come un alfabeto, si possono definire la giustapposizione fra le sue lettere e fra le sue parole: ad es. si pone (abb)*(bca):=abbbca e quindi il semigruppo delle parole su A. Si ottiene il gruppo libero generato da A ampliando questo insieme di parole con gli inversi delle lettere e semplificando le stringhe ottenuto attraverso l'eliminazione delle sottoparole delle forme a*a-1 e a-1*a. In altre parole è il gruppo più ridotto che contiene il suddetto semigruppo di parole.

Presentazione di un gruppo
Ogni gruppo (G,*) può considerarsi gruppo fattore del gruppo libero generato da G.

Problemi algoritmici sulle presentazioni di gruppi
• Date due presentazioni di gruppi, individuano due gruppi isomorfi?
• Una data presentazione individua il gruppo di un solo elemento?
Molti problemi di questo genere, ed in particolare il problema generale noto come problema della parola, si rivelano problemi unsolubili, cioè non trattabili da alcun algoritmo in grado di rispondere a tutte le loro istanze.

Gruppo generale lineare
Denotato GL(n, F), è il gruppo delle matrici invertibili
n × n con entrate nel campo F; particolarmente importanti i gruppi lineari generali sui numeri reali e sui numeri complessi.

Rappresentazione di un gruppo (da non confondersi con la presentazione di un gruppo)

Omomorfismo di un gruppo su un gruppo lineare generale. Può essere molto utile "rappresentare" un dato gruppo astratto su un gruppo concreto di matrici invertibili in quanto quest'ultimo è formato da entità che si sanno analizzare ed elaborare con strumenti ben noti.

Componenti di base dei gruppi e loro classificazioni

  • Esempi di gruppi
  • P-gruppo
  • Gruppo ciclico
  • Gruppo abeliano
    • Rango di un gruppo abeliano
  • Gruppo finitamente generato abeliano
  • Gruppo nilpotente
  • Gruppo solubile
  • Gruppo diedrale
  • Gruppo V4 di Klein
  • Rappresentazione di un gruppo
  • Gruppo profinito
  • Gruppo localmente ciclico
  • Elenco di piccoli gruppi
  • Gruppo divisibile

Gruppi semplici e loro classificazione

  • Gruppo semplice
  • Gruppo simmetrico
  • Gruppo alternante
  • Gruppo lineare generale
  • Gruppo lineare speciale
  • Gruppo proiettivo
  • Gruppo di Mathieu
  • Gruppo di Janko
  • Gruppo di Conway
  • Gruppo di Fischer
  • Gruppo di Thompson (finito)
  • Gruppo di Tits
  • Gruppo Baby Monster
  • Gruppo Monster
  • Bimonster
  • Gruppo di Lie
  • Gruppo di Lie semplice
  • Gruppo di Weyl
  • Gruppo algebrico
    • Sottogruppo di Borel
    • Sottoggruppo parabolico
    • Schema di gruppo
  • Gruppo di Chevalley

Nozioni di valenza generale

Oggetti matematici che contengono o utilizzano un'operazione gruppale

  • Numero
  • Numero reale
  • Intero
  • Aritmetica modulare
  • Matrice
  • Tensore
  • Quaternione
    • Gruppo dei quaternioni
  • Spazio di Hilbert
  • Matrici di Pauli
  • Matrici di Gell-Mann
  • Paradosso di Banach - Tarski
  • Gruppo di Galois
  • Analisi dimensionale
  • Gruppo di Lie
  • Gruppo algebrico
  • Curva ellittica
  • Varietà abeliana
  • Oggetto gruppale

Algebra astratta

Altre discipline matematiche che fanno gran uso dei gruppi

Problemi famosi

  • Classificazione dei gruppi semplici finiti
  • Problema della parola per i gruppi
  • Problema del sottoinsieme a somma nulla
  • Problema di Burnside
  • Problema di Whitehead

Applicazioni dei gruppi

Maggiori contributori della teoria dei gruppi

Visione dei gruppi come formati da permutazioni e gruppi di simmetria

  • Cubo di Rubik
  • Simmetria
  • Gruppo di simmetria
  • Gruppo euclideo
  • Gruppo di Frieze
  • Gruppo della tappezzeria
  • Gruppo cristallografico
  • Gruppo cristallografico di punto fisso
  • Gruppo spaziale
  • Gruppo di Coxeter
  • Gruppo discreto
  • Gruppo fuchsiano
  • Gruppo aritmetico
  • Spazio omogeneo
  • Permutazione
  • Permutazione pari
  • Gruppo di permutazioni
  • Gruppo treccia = braid group
  • Azione di gruppo
  • Teorema di Cayley
  • Orbita (matematica)
  • Lemma di Burnside
  • Sistema di Steiner

Rappresentazioni dei gruppi

  • Teoria delle rappresentazioni
  • Rappresentazioni affini
  • Rappresentazioni proiettive
  • Teorema di Maschke
  • Lemma di Schur
  • Teoria dei caratteri
  • Monstrous moonshine

Teoria dei gruppi computazionale

  • Enumerazione dei laterali

Altri argomenti

  • Serie di composizione
  • Serie normale
  • Sottogruppo di Frattinio
  • Transfer (teoria dei gruppi)
  • Tasso di crescita
  • Gruppo di Heisenberg
  • Gruppo di Heisenberg discreto
  • Sottogruppo di congruenza
  • Commensurabile
  • Gruppo generato compattamente
  • Gruppi di Thompson
  • Gruppo monster di Tarski
  • Gruppo docile = amenable group
  • Gruppo compatto

Vedi anche:


GNU Fdl - it.Wikipedia.org




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